Введение
Одним из важнейших процессов, наблюдаемых в природе, является пуассоновский точечный процесс. Поэтому важно понять, как такие процессы можно моделировать. Методы моделирования различаются в зависимости от типа пуассоновского точечного процесса, т. е. пространства, в котором протекает процесс и однородности или неоднородности процесса. Мы не будем заинтересованы развитием пуассоновского точечного потока или с важными приложениями его в различных областях. Чтобы этот материал показался интересным, читателю настоятельно рекомендуется прочитать соответствующие разделы в Феллере (1965) и Синларе (1975) для основной теории и некоторые разделы в Триведи (1982) для приложений в ИТ.
На первом шаге мы определим пуассоновский процесс на [0;+∞). Процесс полностью определяется семейством случайных событий, которые происходят в определённые случайные моменты времени 0 < T1 < T2 <… Эти события могут относиться ко множеству вещей, таких как ограбление банков, рождению пяти близнецов, и аварии с участием такси Монреаля. Если N(t1,t2) — это количество событий, происшедших за временной интервал (t1,t2), то часто выполнены два следующих условия:
- Для непересекающихся интервалов (t1,t2) и (t3,t4) случайные величины N(t1,t2) и N(t3,t4) независимы
- N(t1,t2) распределено также как и N(0,t2-t1), т. е. распределение числа событий за определённое время зависит только от длины этого интервала.
Удивительным фактом является то, что эти два условия влекут за собой, что все случайные величины N(t1,t2) распределены по закону Пуассона и что существует такая неотрицательная константа λ, что N(t,t+a) распределено по закону Po(λa) для любых неотрицательных t и a>0. См., например, Феллер (1965). Таким образом, пуассоновское распределение происходит вполне естественно.
Предыдущее понятие может быть обобщено на Rd. Пусть A — некоторое подмножество Rd, а N — случайная величина, принимающая только целые значения. Пусть X1,...XN — набор случайных векторов, принимающих значение в A. Тогда мы говорим, что Xi задают равномерный или однородный пуассоновский процесс на А, если
- Для любого конечного набора попарно неперескающихся подмножеств множества A Аi конечного объёма события N(A1),...,N(Ak независимы
- Для любого борелевского подмножества B множества A распределение N(B) зависит только от объёма множества B
Примечание переводчика: Лучше было бы употребить слово «мера», но тем, кто не увлекается математикой, тогда пришлось бы объяснять с десяток страниц, а то и больше.
Опять же эти предположения влекут за собой, что все N(B) распределены по закону P(λVol(B)) для некоторого неотрицательного λ, котороый мы назовём интенсивностью, или параметром интенсивности однородного пуассоновского процесса на А. Примеры таких процессов в многомерном Евклидовом пространстве включают в себя бактерии на чашке Петри и места убийств в Хьюстоне.
Читать полностью »
