Жара стояла невыносимая, солнце безжалостно сжигало пыльную деревенскую дорогу. Люди не могли думать ни о чём, кроме спасительной тени или живительной прохлады расположенной неподалёку реки. Среди бредущих по дороге изнурённых жарой путников выделялся один худощавый человек на велосипеде — сельский учитель, который, казалось, не замечал ни зноя, ни удушающей пыли. Он неторопливо крутил педали, а лицо его выражало радость и целеустремлённость. Да и какое ему было дело до всех невзгод, когда он размышлял о числах, об идеальном, строгом и прекрасном мире математики. В тот день его разум занимало только одно число — 6174...
Рубрика «теория чисел» - 2
Феномен постоянной Капрекара. 6174 — таинственное «число великой радости» или непреодолимая стена?
2023-10-14 в 15:24, admin, рубрики: 6174, вычисления, занимательные задачи, Занимательные задачки, Капрекар, неподвижные точки, постоянная капрекара, теория чисел, числа харшад, число великой радостиГипотеза Пойи — один из самых ярких примеров того, что в математике «верить на слово» нельзя
2023-09-06 в 15:01, admin, рубрики: гипотеза, математика, теория чиселСегодня я расскажу Вам очень показательную историю про одну математическую гипотезу из теории чисел. Она станет ярким примером того, как в математике прерываются, казалось бы, явные закономерности, и что любое предположение в этой науке нуждается в строгом доказательстве, даже если оно проверено для всех чисел, которые только могут поместиться в память суперкомпьютера.
Теория чисел. Новый метод анализа распределения чисел, в том числе и простых
2022-07-06 в 11:45, admin, рубрики: математика, Научно-популярное, простые числа, теория чисел
Новый класс простых чисел, который я открыл случайно
2021-05-03 в 9:22, admin, рубрики: full reptend prime, математика, простые числа, системы счисления, теория чисел, циклические числа, числа фибоначчиВсем привет! Это мой первый пост на Хабре, потому я представлюсь: меня зовут Костя, я разработчик C++, немного музыкант, начинающий ML инженер и любитель математики. Как не сложно догадаться этот пост будет о моём математическом хобби.
Закономерности в распределении простых чисел
2020-12-26 в 11:02, admin, рубрики: математика, Научно-популярное, проблемы Ландау, простые числа, распределение простых чисел, теория чиселВведение
Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя. Такие числа представляют огромный интерес. Дело в том, что никто так и не смог полностью понять и описать закономерность по которой простые числа располагаются в ряду натуральных чисел.
Математики открыли новый фронт в битве с древней числовой задачей
2020-09-24 в 10:46, admin, рубрики: математика, Научно-популярное, совершенные числа, теория чисел, эйлерНе одно тысячелетие математиков интересовал вопрос существования нечётных совершенных чисел. В процессе его изучения они составили невероятный список ограничений для этих гипотетических объектов. Но новые идеи на этот счёт могут появиться благодаря изучению иных близких к ним объектов.
Если нечётные совершенные числа и существуют, им придётся удовлетворять абсурдно большому списку ограничений
Будучи ещё старшеклассником, Пэйс Нильсен в середине 90-х столкнулся с математическим вопросом, над которым бьётся и по сей день. Но он не расстраивается: очаровавшая его задача, гипотеза о нечётных совершенных числах, остаётся открытой уже более 2000 лет, что делает её одной из старейших нерешённых задач математики.
Частично таким долгоживущим шармом она обязана простоте формулировки. Число называется совершенным, если это положительное целое, n, сумма делителей которого даёт удвоенное число, 2n. Первый и самый простой пример – это 6, делители которого, 1, 2, 3 и 6, в сумме дают 12, или 2*6. Затем идёт 28, с делителями 1, 2, 4, 7, 14 и 28, дающими в сумме 56. Следующие примеры – 496 и 8128.
Читать полностью »
База данных простых чисел до ста миллиардов на коленке
2020-05-30 в 13:07, admin, рубрики: C#, Алгоритмы, битовый массив, высокая производительность, математика, оптимизация, простые числа, решето Эратосфена, теория чисел, числовые алгоритмы
Самый известный алгоритм для нахождения всех простых чисел, не больших заданного, – решето Эратосфена. Он замечательно работает для чисел до миллиардов, может быть, до десятков миллиардов, если аккуратно написан. Однако каждый, кто любит развлекаться с простыми числами, знает, что их всегда хочется иметь под рукой как можно больше. Как-то раз мне для решения одной задачи на хакерранке понадобилась in-memory база данных простых чисел до ста миллиардов. При максимальной оптимизации по памяти, если в решете Эратосфена представлять нечетные числа битовым массивом, его размер будет около 6 гигабайт, что в память моего ноутбука не влезало. Существует модификация алгоритма, гораздо менее требовательная по памяти (делящая исходный диапазон чисел на несколько кусков и обрабатывающая по одному куску за раз) – сегментированное решето Эратосфена, но она сложнее в реализации, и результат целиком в память все равно не влезет. Ниже предлагаю вашему вниманию алгоритм почти такой же простой, как и решето Эратосфена, но дающий двукратную оптимизацию по памяти (то есть, база данных простых чисел до ста миллиардов будет занимать около 3 гигабайт, что уже должно влезать в память стандартного ноутбука).
Читать полностью »
Вычисление целочисленного квадратного корня
2019-09-30 в 17:16, admin, рубрики: квадратный корень, математика, теория чиселВозникла нужда проверить, является ли целое число квадратом, и если да, то вычислить корень. Причем хочется сделать это в целочисленной арифметике. Понятно, что можно реализовать метод Ньютона в целых числах, но он требует деления на каждом шаге. А нельзя ли по другому? Найти квадратный корень по модулю степени двойки, и проверить, а не будет ли он обычным квадратным корнем.
Читать полностью »
Почему доказательство Великой теоремы Ферма не нуждается в улучшениях
2019-07-26 в 7:00, admin, рубрики: великая теорема ферма, информатика, логика, математика, Научно-популярное, научный метод, теория чиселВ течение десятилетий, прошедших после появления знакового доказательства великой теоремы Ферма, появилось несколько идей по поводу того, как сделать его ещё более надёжным. Однако эти попытки отражают глубокое непонимание того, что делает доказательство важным.
23 июня исполнилось 25 лет с момента взбудоражившего всех объявления от Эндрю Уайлса, в котором он заявил о получении доказательства великой теоремы Ферма – наиболее известной в математике задачи возрастом 350 лет. История, окружающая доказательство Уайлса – семь лет он тайно работал над этим проектом, разрыв в доказательстве, обнаружившийся после июньского объявления, элегантное решение, опубликованное год спустя в совместной работе, написанной Уайлсом вместе с его бывшим студентом Ричардом Тэйлором, получение рыцарского звания в 2000 – вошло в анналы математических легенд.
Читать полностью »
Обобщение задачи Брокара
2019-06-15 в 20:24, admin, рубрики: длинная арифметика, математика, Научно-популярное, проблема брокара, теория чиселИстория
Гильберт в 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже отметил практическую важность теории чисел. Решение абстрактных задач часто приводило к появлению нового математического аппарата. Ярким примером служит Великая Теорема Ферма, в ходе доказательства которой в конце XX-ого века были исследованы мероморфные функции, применяющиеся современными инженерами-конструкторами на авто- и авиазаводах, а также IT-специалистами в рамках имитационного моделирования. Задачи о "красивых числах" — простых близнецах и совершенных числах, считавшиеся в Древней Греции практически бесполезными, теперь обеспечивают современную криптографию устойчивыми алгоритмами генерации ключей.
В 1913 году Рамануджан популяризирует неопределённое уравнение:
Ранее оно фигурировало в работах Анри Брокара. Как утверждают историки, два математика занялись изучением указанного уравнения независимо друг от друга. Очевидно, факториал растёт быстрее квадрата, поэтому первые решения можно быстро получить перебором значений n. Читать полностью »