В статье дано простое доказательство того, что отображение компактного метрического пространства в себя, не уменьшающее расстояния, является изометрией.
Отображение

метрического пространства с метрикой

называют изометрией, если для любых

справедливо равенство

. Мы докажем здесь следующее утверждение:
Теорема. Если
отображение компактного метрического пространства в себя, такое что

для любых
, то отображение
— изометрия.
Напомним некоторые простые утверждения о метрических компактах и введём некоторые соглашения и определения, необходимые для дальнейшего изложения.
Через
будем обозначать количество элементов конечного множества
.
Для
и
множество
назовем
-окрестностью точки
(или открытым шаром с центром в точке
и радиусом
).
Конечное множество
назовём
-сетью в
(или просто
-сетью), если для любой точки
найдётся точка
такая, что
. Множество
назовём
-разреженным, если
для любых
, таких, что
.
Для любого конечного множества
обозначим через
сумму
. Величину
назовём длиной множества
.
Читать полностью »