Хотели посмотреть на мир глазами существа живущего в компактной замкнутой вселенной со сферической геометрией? Посмотреть на мир без ночи? Мир, где на небе виден другой полюс планеты? Мир, где нет разницы между солнечным и лунным затмением? Добро пожаловать под кат!
Рубрика «сферическая геометрия»
Мир трехмерной гиперсферы. Геодезическая трассировка лучей в замкнутой вселенной со сферической геометрией
2019-07-29 в 3:38, admin, рубрики: javascript, WebGL, астрономия, геометрия Вселенной, гиперсфера, замкнутая вселенная, математика, Научно-популярное, сферическая геометрия, трассировка лучейПравильные многогранники. Часть 2. Четырёхмерие
2015-01-19 в 14:46, admin, рубрики: 4-мерные правильные многогранники, двугранный угол многогранника, математика, разбиения трёхмерной сферы, разбиения трёхмерных пространств, сферическая геометрияВступление
Вижу, что на Хабре люди серьёзные собрались. Статью про трёхмерие на счёт «раз» разобрали. Однако пространствами постоянной кривизны никого не удивишь в наше время. Тем не менее всегда находятся желающие заглянуть выше, в четырёхмерие. Ну что ж, именно с такими любознательными коллегами мы продолжаем разговор и переходим на следующий уровень по размерности.
Моя задача не просто рассказать про разбиения пространств постоянной кривизны любой размерности на правильные многогранники, а сделать это так, чтобы материал поняли даже вчерашние школьники, окончившие 11 классов. Я люблю статьи на Хабре именно за их доходчивость, понятность, простоту, не смотря на сложность материала, и в таком же качестве стараюсь подавать сведения в публикациях. В ВУЗах и в отечественных публикациях предлагаемый материал возможно рассматривается, но, как мне кажется, не в таком виде. Думаю, что информация будет полезна и для студентов. В иностранной литературе данный материал есть, соответственно не на русском языке, в сильно сжатом виде и с использованием высшей математики. Тут я всё «разжёвываю» для школьников, без высшей математики, фактически на одной геометрической интуиции. Мы увидим в следующей статье, как будет сделан переход от 4D к 5D с помощью геометрии, наглядно, без высшей алгебры. Это будет самый сложный шаг, но кто его поймёт, тот поймёт и все остальные размерности от 6 и выше. Не уверен, что мне удалось всё основательно «разжевать», поэтому, если будут дополнительные вопросы — задавайте, это поможет мне улучшить статью.
В данной публикации идея выкладок полностью та же, что и в предыдущей статье, только на одну размерность выше Читать полностью »
Правильные многогранники. Часть 1. Трёхмерие
2015-01-08 в 11:47, admin, рубрики: диск Пуанкаре, интерпретация Пуанкаре II, математика, Правильные многогранники, разбиения двумерной сферы, разбиения плоскости Евклида, разбиения плоскости Лобачевского, сферическая геометрияВведение. Постановка вопроса.
В школьной программе вопросы правильных многогранников не рассматриваются, поэтому не многие знают (да я и сам не так давно узнал), что правильных многогранников в трёхмерном Евклидовом пространстве всего пять:
1. Тетраэдр:
2. Куб:
3. Октаэдр:
4. Додекаэдр:
5. Икосаэдр:
В трёхмерном пространстве правильным многогранником называется многогранник, у которого все рёбра равны между собой и все грани равны между собой. Т.е. грани представляют из себя правильные многоугольники.
У таких многогранников во всех вершинах сходится одинаковое количество рёбер и одинаковое количество граней. Т.е. все вершины тоже имеют одинаковое строение.
Оказывается, такие многогранники удобно обозначать их символом Шлефли {p1, p2}, характеризующим их комбинаторное строение. Который означает, что p1 угольники, сошлись по p2 штук в вершине.
В такой записи наши многогранники получат обозначения:
1. Тетраэдр {3, 3},
2. Куб {4, 3},
3. Октаэдр {3, 4},
4. Додекаэдр {5, 3},
5. Икосаэдр {3, 5}
Например, {4, 3} — куб имеет 4 угольные грани, в каждой вершине сходится по 3 таких грани.
У октаэдра {3, 4} наоборот, грани 3 угольные, сходятся по 4 штуки в вершине.
Таким образом символ Шлефли полностью определяет комбинаторное строение многогранника.
Почему правильных многогранников всего 5? Может быть их больше?
Читать полностью »