Главная

Рубрика «репетитор математика»

Теорема Бошерницана

2018-07-15 в 8:34, admin, рубрики: Блог компании Trinity Digital & Баласс Group, Занимательные задачки, изометрия, компакт, математика, метрическое пространство, расстояние, репетитор математика, теорема, теорема бошерницана

В статье дано простое доказательство того, что отображение компактного метрического пространства в себя, не уменьшающее расстояния, является изометрией.

Отображение $f:Erightarrow E$

метрического пространства с метрикой $rho (cdot ,cdot )$

называют изометрией, если для любых $x,yin E$

справедливо равенство $rho (x,y)=rho (f(x),f(y))$

. Мы докажем здесь следующее утверждение:

Теорема. Если отображение компактного метрического пространства в себя, такое что

для любых , то отображение — изометрия.

Напомним некоторые простые утверждения о метрических компактах и введём некоторые соглашения и определения, необходимые для дальнейшего изложения.

Через $|A|$ будем обозначать количество элементов конечного множества $A$ .

Для $xin E$ и $varepsilon >0$ множество $Q_{x,varepsilon }={y:yin E,rho (x,y)<varepsilon }$ назовем $varepsilon$ -окрестностью точки $x$ (или открытым шаром с центром в точке $x$ и радиусом ).

Конечное множество $Asubset E$ назовём $varepsilon$ -сетью в $E$ (или просто -сетью), если для любой точки $xin E$ найдётся точка $yin A$ такая, что $rho (x,y)<varepsilon$ . Множество $Bsubset E$ назовём -разреженным, если $rho (x,y)geq varepsilon$ для любых $x,yin B$ , таких, что $xneq y$ .

Для любого конечного множества $A=left{a_1,ldots ,a_mright}subset E$ обозначим через $l(A)$ сумму $sum _{ileq j} rho left(a_i,a_jright)$ . Величину $l(A)$ назовём длиной множества $A$ .
Читать полностью »

Новое доказательство теоремы о многочлене

2018-04-16 в 9:04, admin, рубрики: Блог компании Trinity Digital & Баласс Group, доказательство, Занимательные задачки, математика, многочлен, репетитор математика, теорема

В статье приводится новое доказательство красивой и трудной теоремы математического анализа, изложенное таким образом, что оно доступно учащимся старших классов профильных математических школ.

Пусть — бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки найдется натуральное такое, что $f^{(n)}(x)=0$ . Тогда многочлен.

Доказательство

Нам понадобится теорема Бэра о системе замкнутых множеств:

1. Пусть и $F_{1},F_{2},...,F_{n},...$ замкнутые подмножества прямой, причем и $Hsubset bigcup limits_{n} F_{n}$ . Тогда в найдется точка, которая содержится в одном из $F_{n}$ вместе со своей окрестностью. Более точно, найдется точка , натуральное и такие, что $(x-varepsilon;x+varepsilon)cap H subset F_{n}$ .

Действительно (от противного), выберем точку $x_{1} in H$ и окружим ее окрестностью $Delta_{1}=(x-varepsilon_{1};x+varepsilon_{1})$ , где $varepsilon_{1}<1$ . Мы предположили, что утверждение теоремы Бэра не верно. Значит $Delta_{1} cap H not subset F_{1}$ . Выберем в $Delta_{1} cap H$ точку $x_{2}notin F_{1}$ . Окружим $x_{2}$ интервалом $Delta_{2}=(x_{2}-varepsilon_{2};x_{2}+varepsilon_{2})$ таким, что концы этого интервала — точки $x_{2}-varepsilon_{2}$ и $x_{2}+varepsilon_{2}$ лежат в $Delta_{1}$ , а $varepsilon_{2}<frac{1}{2}$ . По предположению $Delta_{2}cap Hnotin F_{2}$ . Это позволяет выбрать в $Delta_{2} cap H$ некоторую точку $x_{3} notin F_{2},...$ Продолжая процесс, мы построим вложенную стягивающуюся последовательность интервалов $Delta_{1}supset Delta_{2}supset ...$ Ясно, что

$x_{1}-varepsilon_{1}< x_{2}-varepsilon_{2}<...<x_{n}-varepsilon_{n}...$ , (1)
$x_{1}+varepsilon_{1}>x_{2}+varepsilon_{2}>...>x_{n}+varepsilon_{n}...$ (2)

Так как каждый промежуток $Delta_{i}cap Hneq varnothing$ , то $lim _{ito infty}(x_{i}-varepsilon_{i})=lim_{itoinfty} (x_{i}+varepsilon_{i})=y, yin H$ , а из (1) и (2) следует, что $yin Delta_{i}$ для каждого $i$ . Таким образом мы нашли точку $y in H$ , но не лежащую ни в одном из множеств
$F_{i} phantom{1} (i=1,2,...)$ .