В статье приводится новое доказательство красивой и трудной теоремы математического анализа, изложенное таким образом, что оно доступно учащимся старших классов профильных математических школ.
Пусть
— бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки
найдется натуральное
такое, что
. Тогда
многочлен.
Доказательство
Нам понадобится теорема Бэра о системе замкнутых множеств:
1. Пусть
и
замкнутые подмножества прямой, причем
и
. Тогда в
найдется точка, которая содержится в одном из
вместе со своей окрестностью. Более точно, найдется точка
, натуральное
и
такие, что
.
Действительно (от противного), выберем точку и окружим ее окрестностью
, где
. Мы предположили, что утверждение теоремы Бэра не верно. Значит
. Выберем в
точку
. Окружим
интервалом
таким, что концы этого интервала — точки
и
лежат в
, а
. По предположению
. Это позволяет выбрать в
некоторую точку
Продолжая процесс, мы построим вложенную стягивающуюся последовательность интервалов
Ясно, что
, (1)
(2)
Так как каждый промежуток , то
, а из (1) и (2) следует, что
для каждого
. Таким образом мы нашли точку
, но не лежащую ни в одном из множеств
.
Скажем, что точка на действительной прямой правильная, если в некоторой окрестности этой точки функция |
---|