Глава из книги Александра Волошинова «Математика и искусство» (Москва: Просвещение, 1992)
Почтенный Пифагор отвергал оценку музыки, основанную на свидетельстве чувств. Он утверждал, что достоинства ее должны восприниматься умом, и потому судил о музыке не по слуху, а на основании математической гармонии и находил достаточным ограничить изучение музыки пределами одной октавы.
Плутарх
Строго говоря, речь здесь пойдет о пифагоровом строе. Что же такое гамма и строй в музыке?
Читать полностью »
Яндекс более десяти лет активно участвует в образовании: у нас есть собственные программы для школьников (Яндекс.Лицей) и студентов (Школа анализа данных и школы по профессиям), а также тесная работа с вузами. Сейчас идет прием документов от поступающих в университеты, остались считанные недели до дедлайна. Мы хотим напомнить про наши проекты в бакалавриатах по математике и информатике в России.
В каждом университете программа имеет свои особенности. Направления обучения, темы, соотношение объемов математики и программирования — все это отличается от места к месту. Но есть важные принципы, которые мы стараемся соблюдать вместе с коллегами из университетов:
Рассказываем под катом про партнерские бакалаврские программы в Москве и Санкт-Петербурге.Читать полностью »
Представляю на суд читателей Хабра неупорядоченные главы из своей книжки «Теория счастья» с подзаголовком «Математические основы законов подлости». Это ещё не изданная научно-популярная книжка, очень неформально рассказывающая о том, как математика позволяет с новой степенью осознанности взглянуть на мир и жизнь людей. Она для тех кому интересна наука и для тех, кому интересна жизнь. А поскольку жизнь наша сложна и, по большому счёту, непредсказуема, упор в книжке делается, в основном, на теорию вероятностей и математическую статистику. Здесь не доказываются теоремы и не даются основы науки, это ни в коем случае не учебник, а то, что называется recreational science. Но именно такой почти игровой подход позволяет развить интуицию, скрасить яркими примерами лекции для студентов и, наконец, объяснить нематематикам и нашим детям, что же такого интересного мы нашли в своей сухой науке.
В этой главе мы начнём с анализа арбузов и их корок, выясним их связь со знаменитым законом Мерфи и убедимся со всей строгостью в том, что о вкусах не спорят.
Впервые идея GAN была опубликована Яном Гудфеллоу Generative Adversarial Nets, Goodfellow et alб 2014, после этого GAN'ы являются одними из лучших генеративнх моделей.
Как и у любой другой генеративной модели задача GAN построить модель данных, а если более конкретно научиться генерировать семплы из распределения максимально близкого к распределению данных (обычно имеется датасет ограниченного размера, распределение данных в котором мы хотим промоделировать).
GAN’ы огромным количеством достоинств, но у них есть один существенный недостаток – их очень сложно обучать.
В последнее время вышел ряд работ посвященных устойчивости GAN:
Вдохновившись их идеями, я сделал небольшое свое исследование. Читать полностью »
При решении задач передачи данных через линии, представленные частотными характеристиками, применяются преобразования Фурье – перевод сигналов из временной области в частотную область и обратно. Среда МАТЛАБ имеет полный набор функций для решения подобных задач. В этой работе разобран пример вычисления в МАТЛАБ реакции сигнала прошедшего через линию, характеристика которой измерена на частотах, не совпадающих с частотой передачи данных. Надеюсь, что этот пример позволит легче разобраться с особенностями технологии преобразования сигналов в среде МАТЛАБ.
Необходимо определить изменение формы двоичного цифрового сигнала проходящего через фильтр и сигнальную линию. Сигнал задан амплитудой и скоростью передачи. Фильтр второго порядка, нормированный относительно частоты передачи данных, задан постоянными времени. Передаточная функция сигнальной линии представлена измеренной частотной характеристикой в комплексной форме.
Среда, используемая для вычисления и отображения данных – MATLAB R2015а.
В качестве примера исходных данных взяты следующие отношения, опубликованные на сайте www.StatEye.org для версии метода StatEye 3.0 GUI [1, 2, 3].
Скорость передачи данных bps = 10,3125 Гбит/с. Постоянные времени нормированного фильтра второго порядка совпадают, их обратная величина составляет ¾ частоты передачи данных. Сигнальная линия представлена частотной характеристикой. Измерение характеристики выполнено на частотах channel.f = 0,006495:0,0012475:20 ГГц. Заданное число точек дискретизации преобразования Фурье: points = 2^13.
Читать полностью »
На написание этой небольшой заметки меня натолкнула недавно опубликованная на Хабре статья Динамика вертикального полёта летательного аппарата легче воздуха. Захотелось написать комментарий, но он быстро перерос во что-то большее и, как кажется, более полезное.
В оригинальной статье приводится пример расчёта динамики воздушного шара или аэростата в атмосфере. При этом учитываются и сопротивление воздуха и градиенты плотности и температуры атмосферы, так что задача сводится к нетривиальному дифференциальному уравнению, которое благополучно решается численно средствами языка Python. В статье всё хорошо: шар взлетел, остановился, где надо, мы получили и предельную высоту и время подъёма. Потребовалось запустить другой шар, скажем, побольше, нагрузить его поосновательнее, или поменять водород на гелий – не проблема – поменяем параметры в программе и снова всё посчитаем. Программка понятная, линейная, работает, что же можно здесь улучшить, если не усложнять модель?
Можно сделать так, чтобы модель и расчёты стали универсально полезными не для какого-то конкретного шара, а для широкого круга задач. Можно обеспечить оптимальную точность вычислений при численном интегрировании дифференциального уравнения. Можно избавиться от необходимости вручную задавать пределы интегрирования и шаг при расчёте в широком диапазоне параметров. Наконец, можно многое рассказать о динамике полёта нашего шара и без численного решения. И для всего этого служит один давний приём, верный и надёжный, когда-то обязательный при любых расчётах на ЭВМ и до их появления, а сейчас факультативный и часто относимый к магии и искусству – приведение уравнений к безразмерному виду и собственным масштабам. Воспользуюсь задачей о воздухоплавании, как примером и покажу, насколько более осмысленным и изящным становится анализ задачи, при использовании этой техники. А потом объясню почему это может быть важным для программистов, и отчего эта статья попала в хаб «Функциональное программирование».
В недавней статье «Амплитудная модуляция произвольного сигнала» её автор довольно сумбурно попытался представить своё понимание формирования спектра при амплитудной модуляции. Но отсутствие иллюстраций и избыток математики с привлечением интегральных преобразований помешало сообществу понять мысли автора и оценить статью по достоинству; в то время как тема это достаточно простая — и рассмотреть которую мы попробуем ещё раз, на этот раз с картинками и привлечением Wolfram Mathematica.
Итак, идея амплитудной модуляции состоит в том, чтобы передавать низкочастотный сигнал — голос или музыку — модулируя высокочастотный (несущий) сигнал, многократно превышающий слышимый диапазон и занимающий узкую полосу частот в радиоэфире. Сама модуляция осуществляется простым умножением сигнала на несущий:
Не так давно на просторах интернета узнал о такой замечательной и удивительной копии Вавилонской библиотеки как о формуле Таппера. Вернее, это больше неравенство Таппера, чем формула. Особенность данного неравенства — оно создает собственное же изображение на графике. Просто посмотрите на это чудо!
У многих еще остались радиоприёмники с диапазонами СВ и ДВ, и радиолюбительский интерес к приёму в этих диапазонах также по-прежнему сохраняется. На средних волнах в условиях отсутствия помех (за городом, в парке, на балконе, с внешней антенной или, в крайнем случае, у окна квартиры) в вечернее время принимается много удаленных радиостанций, но днем в эфире слышны только шумы. В диапазоне ДВ радиостанций не осталось совсем.
Исправить положение можно с помощью простого маломощного радиопередатчика, действующего в радиусе нескольких метров. В процессе сборки одной из таких конструкций у автора родилась идея попытаться сделать такой передатчик на базе Arduino.
Читать полностью »
Определение скорости подъёма и спуска летательных аппаратов легче воздуха (ЛАЛВ) до настоящего времени является практически важной задачей, возникающей при проектировании таких аппаратов.
Большое количество публикаций посвящено ЛАЛВ, например, только на нашем ресурсе приведены две очень интересные статьи [1,2], касающиеся истории развития на примере конкретных конструкций дирижаблей и стратостатов. Однако очень мало расчётов динамики вертикального полёта таких устройств, позволяющих хотя бы ориентировочно определять скорости подъёма и спуска ЛАЛВ.
Последнее утверждение требует определённого пояснения, поскольку искушённый читатель хорошо помнит школьный курс физики, в котором решались задачи на высоту подъёма и другие параметры воздушных шаров, заполненных газами легче воздуха или самим подогреваемым во время полёта воздухом.
Все указанные задачи были основаны на равенстве двух сил: силы веса и выталкивающей силы. Газы считались идеальными и их параметры вычислялись по закону Менделеева Клапейрона. Однако, даже простой учёт третьей силы сопротивления воздуха уже приводит к системе дифференциальных уравнений, которая аналитически не решается. Необходимо так же учитывать изменение плотности атмосферного воздуха с высотой подъёма и температурой.
Кроме этого, если нужно рассмотреть не только подъём, но и зависание шара и его спуск на землю, то совсем уж не детская задача получается. Надеюсь, что рассмотрение решения подобной задачи средствами Python не только будет способствовать расширению знаний по физике, но и популяризации самого языка программирования Python. Что я и пытаюсь делать в своих публикациях на этом ресурсе.
