Рубрика «кватернионы»

в 7:20, , рубрики: кватернионы, комплексные числа, математика, Научно-популярное, тождество эйлера, тригонометрия, число пи

Посмотрев лекцию профессора Робина Уилсона о тождестве Эйлера, я наконец смог понять, почему тождество Эйлера является самым красивым уравнением. Чтобы поделиться моим восхищением это темой и укрепить собственные знания, я изложу заметки, сделанные во время лекции. А здесь вы можете купить его прекрасную книгу.

Что может быть более загадочным, чем взаимодействие мнимых чисел с вещественными, в результате дающее ничто? Такой вопрос задал читатель журнала Physics World в 2004 году, чтобы подчеркнуть красоту уравнения Эйлера «e в степени i, умноженного на пи равно минус единице».

Самая красивая теорема математики: тождество Эйлера - 1

Рисунок 1.0: тождество Эйлера — e в степени i, умноженного на пи, плюс единица равно нулю.

Ещё раньше, в 1988 году, математик Дэвид Уэллс, писавший статьи для американского математического журнала The Mathematical Intelligencer, составил список из 24 теорем математики и провёл опрос, попросив читателей своей статьи выбрать самую красивую теорему. И после того, как с большим отрывом в нём выиграло уравнение Эйлера, оно получило званием «самого красивого уравнения в математике».
Читать полностью »

в 8:26, , рубрики: GNSS, imu, акселерометр, Алгоритмы, гироскоп, Глобальные системы позиционирования, инерциальные датчики, квадрокоптер, кватернионы, магнитометр, математика, матрица вращения, мультикоптеры, робототехника, углы Эйлера

О чём речь

Появление на Хабре поста о фильтре Маджвика было по-своему символическим событием. Видимо, всеобщее увлечение дронами возродило интерес к задаче оценивания ориентации тела по инерциальным измерениям. При этом традиционные методы, основанные на фильтре Калмана, перестали удовлетворять публику — то ли из-за высоких требований к вычислительным ресурсам, неприемлемых для дронов, то ли из-за сложной и неинтуитивной настройки параметров.

Пост сопровождался весьма компактной и эффективной реализацией фильтра на C. Однако судя по комментариям, физический смысл этого кода, а равно и всей статьи, для кого-то остался туманным. Что ж, признаем честно: фильтр Маджвика — самый замысловатый из группы фильтров, основанных в общем-то на очень простых и элегантных принципах. Эти принципы я и рассмотрю в своём посте. Кода здесь не будет. Мой пост — не рассказ о какой-то конкретной реализации алгоритма оценивания ориентации, а скорее приглашение к изобретению собственных вариаций на заданную тему, которых может быть очень много.

image
Читать полностью »

в 16:13, , рубрики: бикватернионы, дуальные числа, кватернионы, математика, операции с бикватернионами, разработка игр, физика

Если вы открыли данную статью, то наверняка уже слышали о кватернионах, и возможно даже используете их в своих разработках. Но пора подняться на уровень выше — к бикватернионам. Можно и еще выше — к седионам! Но не сейчас.

В данной статье даны основные понятия о бикватернионах и операции работы с ними. Для лучшего понимания работы с бикватернионами показан наглядный пример на Javascript с использованием Canvas.
Читать полностью »

в 8:12, , рубрики: бивекторы, кватернионы, математика, матрицы преобразований, повороты, Работа с 3D-графикой, разработка игр, роторы, трёхмерная графика, тривекторы
image

Для записи трёхмерных поворотов программисты графики используют кватернионы. Однако в кватернионах сложно разобраться, потому что изучают их поверхностно. Мы просто принимаем на веру странные таблицы умножения и другие загадочные определения, и используем их как «чёрные ящики», поворачивающие векторы так, как нам нужно. Почему $mathbf{i}^2=mathbf{j}^2=mathbf{k}^2=-1$ и $mathbf{i} mathbf{j}=mathbf{k}$? Почему мы берём вектор и превращаем его в «мнимый» вектор, чтобы преобразовать его, например $mathbf{q} (xmathbf{i} + ymathbf{j} + z mathbf{k}) mathbf{q}^{*}$? Да кому это интересно, если всё работает, правда?

Существует способ описания поворотов под названием ротор, который относится к области и комплексных чисел (в 2D), и кватернионов (в 3D), и даже обобщается до любого количества измерений.

Мы можем создавать роторы практически полностью с нуля, вместо того, чтобы определять из ничего кватернионы и пытаться объяснить, как они работают задним числом. Это занимает больше времени, но мне кажется, что это стоит того, потому что их гораздо легче понять!

Кроме того, для визуализации и понимания трёхмерных роторов не нужно использовать четвёртое пространственное измерение.

Было бы здорово, если бы начали вытеснять использование и изучение кватернионов, заменяя их роторами. Заменить их очень просто, а код останется почти таким же. Всё, что можно делать с кватернионами, например, интерполяцию и устранение блокировки осей (Gimbal lock), можно сделать и с роторами. Но понимать мы начинаем гораздо больше.
Читать полностью »

в 5:12, , рубрики: кватернионы, математика, матрицы, поворот, Работа с 3D-графикой, углы Эйлера
Доступно о кватернионах и их преимуществах - 1

От переводчика: ровно 175 лет и 3 дня назад были изобретены кватернионы. В честь этой круглой даты я решил подобрать материал, объясняющий эту концепцию понятным языком.

Концепция кватернионов была придумана ирландским математиком сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном в понедельник 16 октября 1843 года в Дублине, Ирландия. Гамильтон со своей женой шёл в Ирландскую королевскую академию, и переходя через Королевский канал по мосту Брум Бридж, он сделал потрясающее открытие, которое сразу же нацарапал на камне моста.

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$

Доступно о кватернионах и их преимуществах - 3

Памятная табличка на мосту Брум Бридж через Королевский канал в честь открытия фундаментальной формулы умножения кватернионов.

В этой статье я постараюсь объяснить концепцию кватернионов простым для понимания образом. Я объясню, как можно визуализировать кватернион, а также расскажу о разных операциях, которые можно выполнять с кватернионами. Кроме того, я сравню использование матриц, углов Эйлера и кватернионов, а затем попытаюсь объяснить, когда стоит использовать кватернионы вместо углов Эйлера или матриц, а когда этого делать не нужно.
Читать полностью »

в 7:11, , рубрики: unity3d, Инверсная кинематика, кватернионы, математика, процедурные анимации, прямая кинематика, разработка игр, углы Эйлера, метки: , ,

image

В этой серии статей мы познакомимся с инверсной кинематикой в видеоиграх. Перед началом нашего путешествия я расскажу о нескольких играх, в которых используются процедурные анимации, и о том, чем они отличаются от традиционных, основанных на ресурсах, анимаций.

GIF

Введение в процедурную анимацию - 2

Серия будет состоять из следующих частей:

  • Часть 1. Введение в процедурную анимацию
  • Часть 2. Математика прямой кинематики
  • Часть 3. Реализация прямой кинематики
  • Часть 4. Введение в градиентный спуск
  • Часть 5. Инверсная кинематика для робота-манипулятора
  • Часть 6. Инверсная кинематика щупалец
  • Часть 7. Инверсная кинематика лап паука

Читать полностью »

в 15:11, , рубрики: gps-трекинг, Алгоритмы, датчики, кватернионы, математика, программирование микроконтроллеров, метки:

Имитация показаний датчиков с помощью массива точек пути - 1

Структура публикации

  • Оговорка про крен
  • Подготовка GPS-трека
  • Как из массива векторов получить углы Крылова-Эйлера
  • Имитация показаний гироскопа
  • Вектор ускорения свободного падения и направление «на север»
  • Имитация показаний акселерометра, компаса и барометра

Для отладки алгоритма, работающего с датчиками инерциальной навигации, может потребоваться имитировать показания этих самых датчиков. Например, вы имеете отладочную последовательность точек пути, имитирующую определённую ситуацию. Вы можете иметь некий GPS-трек, имеющий особенности, или напротив их не имеющий. В моём случае результат полевых испытаний есть, а плата ещё не готова — нужно чем-то заняться.
Читать полностью »

в 8:21, , рубрики: Алгоритмы, кватернионы, математика, программирование микроконтроллеров, метки:

Структура публикации

  • Получение кватерниона из вектора и величины угла разворота
  • Обратный кватернион
  • Умножение кватернионов
  • Поворот вектора
  • Рысканье, тангаж, крен
  • Серия поворотов

Получение кватерниона из вектора и величины угла разворота

Ещё раз – что такое кватернион? Для разработчика – это прежде всего инструмент, описывающий действие – поворот вокруг оси на заданный угол:

(w, vx, vy, vz),

где v – ось, выраженная вектором;
w – компонента, описывающая поворот (косинус половины угла).
Читать полностью »

Главная   |  Архив новостей  |   Android  |   Google  |   Apple  |   Microsoft  |   Информационная безопасность  |   Веб – разработка
Публикации RSS  |  Комментарии RSS
https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.4.1/jquery.min.js