Введение. Постановка вопроса.
В школьной программе вопросы правильных многогранников не рассматриваются, поэтому не многие знают (да я и сам не так давно узнал), что правильных многогранников в трёхмерном Евклидовом пространстве всего пять:
1. Тетраэдр:
2. Куб:
3. Октаэдр:
4. Додекаэдр:
5. Икосаэдр:
В трёхмерном пространстве правильным многогранником называется многогранник, у которого все рёбра равны между собой и все грани равны между собой. Т.е. грани представляют из себя правильные многоугольники.
У таких многогранников во всех вершинах сходится одинаковое количество рёбер и одинаковое количество граней. Т.е. все вершины тоже имеют одинаковое строение.
Оказывается, такие многогранники удобно обозначать их символом Шлефли {p1, p2}, характеризующим их комбинаторное строение. Который означает, что p1 угольники, сошлись по p2 штук в вершине.
В такой записи наши многогранники получат обозначения:
1. Тетраэдр {3, 3},
2. Куб {4, 3},
3. Октаэдр {3, 4},
4. Додекаэдр {5, 3},
5. Икосаэдр {3, 5}
Например, {4, 3} — куб имеет 4 угольные грани, в каждой вершине сходится по 3 таких грани.
У октаэдра {3, 4} наоборот, грани 3 угольные, сходятся по 4 штуки в вершине.
Таким образом символ Шлефли полностью определяет комбинаторное строение многогранника.
Почему правильных многогранников всего 5? Может быть их больше?
Читать полностью »