Эта статья — последняя из серии моих хабрастатей о фракталах. В хабрастатье «Рисуем картинки с помощью кривой Гильберта» рассказывалось о котёнке по имени Гав, в хабрастатье «Кош на комплексной плоскости» — о перетекании фракталами в горизонт, в хабрастатье «Ночь фракталов» — об алгоритме времени убегания. В этой статье пойдёт речь о ёжике в тумане и, конечно же, о коте.
Когда-то давно я решил «потрогать» Fortran. Единственную задачу которую я придумал — генерация фракталов (заодно и OpenMP в Fortran'е можно было бы попробовать). В процессе написания я часто сталкивался с проблемами, решение которых приходилось додумывать самому (например в интернете не так много примеров использования чисел двойной точности или бинарной записи в файл). Но рано или поздно все проблемы решились, и я хочу написать этот текст, который возможно кому-нибудь поможет.
Писать я буду на диалекте Fortran 90, но с GNU расширениями (те же числа двойной точности).
Читать полностью »
После разделения Хабра на два ресурса получилось, думаю не только у меня, так, что статьи остались на Хабре, а в профиль на Гиктаймс перенесли только комментарии и рейтинг. При этом как пользователь без публикаций я не имею права голосовать за рейтинг автора понравившиеся статьи, что хотелось бы исправить. Идеи для статей если и были, то относились к тематике Хабра. Но комментарий в статье «Две недели спустя появления Geektimes: увы...» натолкнул на странную мысль — написать о математическом вязании. То есть о различных математических моделях, связанных крючком или спицами. Ну и немного о самих моделях тоже.
Шёл уже последний час этого воскресения, я уже думал идти спать, но добрый sourcerer прислал мне картинку с моего заброшенного сайта, которую можно увидеть ниже, и текст «красиво!». Эти картинки я рисовал лет пять назад, с помощью т. н. алгоритма времени убегания, но для применимости данного алгоритма, нужно уметь для заданного набора преобразований разбивать плоскость на регионы, тогда я не придумал, как это сделать, и больше к этому алгоритму не возвращался. Но сейчас я сразу сообразил, что делать, и написал Диме: «Сначала Random IFS, потом kNN, а затем Escape-Time Algorithm!»
Под рукой у меня был только старый нетбук, который мне дали друзья на время, пока мой ноутбук в ремонте. Дима мне ещё что-то говорил, я ему что-то отвечал, но у меня уже в голове писался код, и я искал на нетбуке хоть какой-нибудь компилятор или интерпретатор и нашёл C++ Builder 6! После этого я понял, что утро я встречу наедине с борландовским компилятором. Через пять часов я отправил Диме новых картинок, но он, как нормальный человек, давно спал…
В мире есть много интересных занятий. Математика, как правило, ассоциируется с чем угодно, только не с таким занятием. Это можно оспорить. Но я, в силу своей профессиональной деятельности, знаю, что говорю. Особенно сложно объяснить прелесть математики молодому поколению. А ведь именно ему предстоит решать все проблемы будущего. Соответственно, возникает потребность каким-то образом заинтересовать молодого (да и не только) человека предметом.
Это можно сделать с помощью компьютерных программ, которые помогут ученику или студенту наглядно увидеть красоту результата. Сегодня я хотел бы поближе познакомиться с программой для генерирования фракталов.
Читать полностью »
В какой-то из весенних дней этого года я ехал в троллейбусе и листал комикс о Коше. В одном из выпусков была такая фраза «НО! Её можно понять, она же фракталами в горизонт перетекает, я бы тоже замешкался...». После этого я посмотрел в окно и понял, что если мы возьмём два подходящих дробно-линейных преобразования комплексной плоскости a(z) и b(z), и рассмотрим систему итерированных функций для a(z), b(z), a−1(z), b−1(z), взяв в качестве начального множества картинку с Кошем, то Кош будет перетекать фракталами в горизонт!
И вот несколько дней назад у меня дошли руки, чтобы написать нужный скрипт на питоне. Результаты мне и моим друзьям понравились, и я решил написать эту хабрастатью.
Итак, если вы хотите узнать, что такое дробно-линейные преобразования комплексной плоскости, и как с помощью них получать фрактальные картинки, то добро пожаловать под хабракат. Там будет немножко бесполезной математики и много гифок.
Я обнаружил этот фрактал, когда разглядывал интерференцию волн на поверхности речки. Волна движется к берегу, отражается и накладывается сама на себя. Есть ли порядок в тех узорах, которые создаются волнами? Попробуем найти его. Рассмотрим не всю волну, а только вектор ее движения. «Берега» сделаем гладкими, для простоты эксперимента.
Эксперимент можно провести на обычном листке в клеточку из школьной тетради.
Читать полностью »
Представляю сообществу страничку на JavaScript, которая позволяет строить, рисовать, создавать простые фрактальные фигуры, основанные на самоподобии. На самом деле это мой первый опыт использования HTML/CSS/JS. При обширном опыте программирования, я до сих пор пропускал веб-разработку. А поскольку, по моим представлениям, самый удобный способ научиться программировать — это сделать какой-нибудь проект, вот он мой фрактальный HelloWorld.
Начнём с дисклеймера. В данной статье я позиционирую себя скорее как математик, а не как веб-разработчик. С радостью приму любые замечания, касающиеся технической реализации этого чуда. С не меньшей радостью готов услышать другие варианты его названия («квадратный генератор фракталов» звучит как-то не очень). И, наконец, со значительно меньшей радостью я воспринял бы новость, что эту штуку уже придумали до меня, однако если это так — сообщите. Истина превыше всего.
Однако из-за чего весь этот сыр-бор? За подробностями прошу под хабракат.
На следующее утро после больших метелей, охвативших северо-восток США, я сидел в своей машине, готовый бросить вызов опасным дорожным условиям, чтобы съездить в местное кафе. Мой дом в Нью-Джерси был за пределами основного пути шторма, так что вместо сугробов нас приветствовала смесь мокрого снега и ледяного дождя. И сидя в своей машине, я не мог не быть очарован этими странными узорами из льдинок, образующихся на лобовом стекле. Вот что я увидел:
