Преимущество подхода на основе эллиптических кривых в сравнении с задачей факторизации числа, используемой в RSA, или задачей целочисленного логарифмирования, применяемой в алгоритме Диффи-Хеллмана и в DSS, заключается в том, что в данном случае обеспечивается эквивалентная защита при меньшей длине ключа.
В общем случае уравнение эллиптической кривой Е в поле действительных чисел R имеет вид:
— y^2+a1*x*y+a3*y = x^3+a2*x^2+a4*x+a6
или в случае конечного кольца вычетов Z|n:
— y^2+a1*x*y+a3*y = x^3+a2*x^2+a4*x+a6 mod N
Поставим перед собой задачу визуализации эллиптической кривой.
Эллиптическая кривая Е в поле действительных чисел R
Если эллиптическая кривая Е рассматривается в поле действительных чисел R, то построение графика можно описать, используя только знания алгебры и геометрии старших классов школы
аргументы N a1 a2 a3 a4 a6 xmin xmax
- Выбираем диапазон [xmin — xmax] аргумента x
- Отмечаем на выбранном диапазоне аргумента x необходимое число значений x1,...,xN
- Каждое из значений x1,...,xN подставляем в уравнение y^2+a1*x*y+a3*y = x^3+a2*x^2+a4*x+a6 и получаем обычное квадратичное уравнение аргумента y
- Находим корни квадратичного уравнения аргумента y
- Если квадратичное уравнение аргумента y имеет решения, то добавляем две точки на график
- Соединяем линиями все «верхние» точки на графике и все «нижние» точки на графике