Посмотрим на многугольник с жесткими сторонами, в вершинах которого помещены шарниры. Если у него более трех вершин, то он может изгибаться — длины сторон далеко не однозначно определяют многоугольник. А что происходит с многогранниками в трехмерном пространстве? Если зафиксировать форму их граней, смогут ли они изгибаться?
Оказывается, что иногда могут, но это очень редкое свойство
Сразу скажем, что под изгибанием понимается непрерывное изгибание, а не просто то, что многогранник не однозначно задается своими гранями. Такой пример придумать довольно легко:
Однако, еще в 1813 году Коши доказал, что для выпуклого многогранника даже такая ситуация невозможна: выпуклый многогранник однозначно определяется своими гранями.
В 1897 году удалось построить примеры самопересекающихся изгибаемых многогранников(наглядно это можно представить как каркас из проволоки, отсутствие жестких граней не имеет значения, так как все они треугольные и однозначно определяются ребрами) — октаэдры Брикара. Wolfram demonstration
Только в 1976 году Конелли предложил конструкцию несамопересекающегося невыпуклого изгибаемого многогранника. Следуя его идеям, Штеффен вскоре построил пример изгибаемого многогранника с 9 вершинами(позже было доказано, что с меньшим количеством вершин это сделать невозможно). Видео с этим многогранником размещено в начале поста, также имеется Wolfram demonstration.
Оговорим заранее, что рассматриваются многогранники с треугольными гранями. Это не меняет сути дела, так как у любого изгибаемого многгранника можно добавить ребра, разрезав грани на треугольники, от чего его изгибаемость не пропадет. Однако, это упрощает вычисления, так как теперь вся информация о гранях многогранника содержится в комбинаторном строении и длинах ребер.
Попробуем теперь понять, почему оказалось так сложно найти изгибаемые многранники, в то время как для многоугольников это очень типичное свойство. Посмотрим на многугольник с n вершинами. Его форма задается координатами вершин, которых 2n. Эти координаты задают не только форму многугольника, но и его положение на плоскости. Положение задается 3 координатами(например, пара координат одной вершины и угол поворота многугольника вокург нее). Таким образом, получается система с 2n-3 степенями свободы, в то время как длины ребер накладывают лишь n условий, и при n>3 получается 2n-3>n. Говоря математическим языком, иммется n функций от 2n-3 переменных, сопоставляющие набору координат вершин набор квадратов длин ребер(берутся квадраты, чтобы функции получились полиномиальными) и при n>3 образ функции далеко не однозначно задает прообраз.
Проведем теперь аналогичное вычисление для многогранников. Форма многогранника с n вершинами задается 3n-6 параметрами(так как полжение многогранника в пространстве задается 6 параметрами). Посчитаем теперь количество ребер. Пусть их число равно e. Если f — число граней, то 3f=2e, так как к каждому ребру прилегают две грани, а каждая грань содержит 3 ребра. Применяя Формулу Эйлера, получаем n-e+2e/3=2, то есть e=3n-6. Получается, что число условий, накладываемых на многогранник в точности равно числу степеней свободы.
Это не означает, что длины ребер однозначно задают форму многогранника. Вполне возможно, у каждого набора длин ребер будет несколько прообразов среди форм многогранников, но они будут изолированными(как в примере в начале поста), но локально прообраз единственен. См. Теорема о неявной функции. Целое семейство прообразов, нужное для изгибания найдется только при условии вырожденности набора функций, см. Якобиан. Таким образом, для возможности изгибания комбинаторная структура многогранника должна задавать вырожденную систему уравнений на длины ребер и координаты вершин, что объясняет редкость изгибаемых многогранников.
После построения примеров изгибаемых многогранников математики начали изучать их свойства при изгибании. В 1996 Сабитов открыл удивительный факт — изгибаемый многогранник сохраняет объем при изгибании(точнее, он доказал более сильное утверждение — объем многогранника является корнем многочлена, коэфициенты которого полиномиально выражаются через квадраты длин ребер). Что примечательно, несмотря на недавность результата, доказательство совсем не сложно и понятно студенту-математику 1-2 курса.
Далее математики стали изучать многогранники старших размерностей. А. Гайфуллин доказал аналог теоремы Сабитова во всех размерностях и построил примеры изгибаемых многогранников всех размерностей.
Дополнительные материалы:
- Видео на сайте etudes.ru об изгибаемых многогранниках
- Статья И. Максимова об изгибаемых многогранниках с малым количеством вершин
- Лекция А.Гайфуллина
- Инструкция по склейке многогранника Штеффена
Автор: aapetrov3
