Раз уж вы читаете это эссе, то наверняка уже знаете о математическом празднике под названием «День Пи», который отмечается 14 марта каждого года в честь мистического числа π = 3,14..... Пи — это не просто универсальная константа; она трансуниверсальна в том смысле, что даже в альтернативной вселенной с геометрией, отличной от нашей, сознательные существа, задавшиеся вопросом[1] о значении интеграла sqrt(1-x^2) от x = -1 до x = 1, всё равно получили бы — ну, не 3,14..., а ровно половину от него, или 1,57..... Здесь кроется подвох в универсальности пи: почему 3,14... должно считаться более фундаментальным числом, чем 1,57... или другие естественно возникающие[2] величины, связанные с пи?
Я подозреваю, что даже если мы ограничимся планетами в нашей Вселенной, на которых обитают разумные существа, делящие свои годы на что-то вроде месяцев, а месяцы — на что-то вроде дней, многие из этих миров не будут праздновать число пи в четырнадцатый день третьего месяца. И не только потому, что 3,14 — это очень десятичное приближение к пи (есть ли причина думать, что у разумных существ, как правило, ровно десять пальцев, или щупалец, или псевдоподий, или ещё чего-нибудь?). И не только потому, что интерпретировать «3» как счёт месяцев, а «14» — как счёт дней, довольно условно. И не только потому, что устраивать праздник в честь числа — вообще странное занятие. А ещё и потому, что в нашем собственном мире мы были близки к тому, чтобы другое число, кратное пи служило нам фундаментальным мостом между измерением прямых и круглых вещей.
Превращение в число
Пи иногда называют константой Архимеда[3], потому что Архимед был первым математиком, описавшим процедуру определения пи с любой желаемой степенью приближения. Применив свой метод, Архимед показал, что пи находится между 223/71 и 22/7. Кстати, Архимед не считал 22/7, 223/71 или пи числами; для него это были отношения величин, и последнее из них должно рассматриваться скорее с геометрической точки зрения, чем с числовой.[4] Но главное — это то, чего Архимед не сделал: он не показал, что пи лежит между 314/100 и 315/100 (что соответствует современному утверждению 3,14 < π < 3,15) или между любой другой парой дробей со знаменателем в виде степени десяти. Для этого не было никаких причин: десятичная система, с её встроенной фиксацией на степени десяти, оставалась в далёком будущем.
Спустя два тысячелетия после Архимеда, в 1585 году Симон Стевин опубликовал учебники De Thiende («Десятое») и L'Arithmétique («Арифметика»), которые ввели Европу в десятичную эру. Стевин недвусмысленно отказался от старого различия между числами и коэффициентами, провозгласив категорично, хотя и неясно: «Нет таких чисел, которые не постигались бы посредством числа». В системе Стевина целые, дробные и иррациональные числа могли обедать вместе за одним столом и участвовать в арифметических операциях посредством своих десятичных представлений.
Стевин не обсуждал пи конкретно, но его концепция побудила математиков задуматься о пи как о числе. Одним из таких математиков был Людольф ван Сеулен, который десятилетиями применял метод Архимеда для анализа многоугольников с огромным количеством сторон, вычислив незадолго до своей смерти 35 десятичных цифр числа пи. После смерти ван Сеулена в 1610 году вычисленные им цифры были начертаны на его надгробии, а пи в некоторых частях Германии и Нидерландов прозвали «числом Людольфа»[5].
Так что теперь 3,14... было признано настоящим числом.
Неправильное число?
Да, 3,14... наконец-то стало числом, но правильное ли это число?
Уильям Оутред в своей работе «Clavis Mathematicae» («Ключ к математике»), вышедшей в 1631 году, использовал обозначение «π/δ», где π — это длина окружности, а δ — её диаметр; этот коэффициент и есть наш друг 3,14... С другой стороны, Джеймс Грегори в своей книге 1668 года «Geometriae Pars Universalis» («Универсальная часть геометрии») вместо этого использовал обозначение «π/ρ», где ρ — радиус окружности; этот коэффициент является родственником 3,14… и равен 6,28... Хотя эти два математика сосредоточились на двух разных соотношениях, и для Оутреда, и для Грегори «π» не обозначало число; оно обозначало окружность произвольного размера. (Большую часть информации для этого раздела я почерпнул из документа Джеффа Миллера «Древнейшие случаи использования символов для констант»).
В 1671 году Грегори вывел формулу[6] для одной четвёртой от современной константы пи, которая выглядит как 1 — 1/3 + 1/5 — 1/7 + ..... Из этой формулы следует, что само пи равно 4 — 4/3 + 4/5 — 4/7 + ..... Не знаю, согласитесь ли вы, но мне кажется, что 1 — 1/3 + 1/5 — 1/7 + ... гораздо более симпатичная сумма, чем 4 — 4/3 + 4/5 — 4/7 + ..... Возможно, Грегори тоже так считал и даже время от времени задумывался, не является ли 1 — 1/3 + 1/5 — 1/7 + ..., или 0,79..., действительно фундаментальной числовой характеристикой кругов.
В 1706 году Уильям Джонс в своём труде Synopsis Palmariorum Matheseos (позднее опубликованном на английском языке под названием A New Introduction to the Mathematics) пошёл по стопам Оутреда, но с изменением нотации: он предложил обозначать через «π» не окружность круга, а отношение окружности к диаметру.
Величайший математик XVIII века Леонгард Эйлер вслед за Джонсом принял «π» в качестве безразмерной константы, однако тщательно продумал, константой какой величины она должна быть. В 1729 году он использовал «π» для обозначения числа 6,28... (используя символ «p» для обозначения 3,14...). В конце 1730-х годов Эйлер перешёл к использованию «π» для обозначения 3,14..., но в 1747 году он снова вернулся к использованию «π» для обозначения 6,28..... Попутно он написал формулу площади круга как «A = C r / 2» вместо «A = πr^2», избегая использования символа «π». Затем в 1748 году в своём безусловно влиятельном труде «Introductio in analysin infinitorum» («Введении в анализ бесконечного») он снова перешёл на использование «π» для обозначения 3,14... (и «∆» для обозначения 6,28...) и потом уже никогда не оглядывался назад.
Мир принял (окончательный) выбор Эйлера и с тех пор всегда использует «π» для обозначения 3,14.....
Итак, конвенция Джонса победила. Но заслужила ли она этого? Вот десять самых распространённых математических уравнений с π, согласно ChatGPT:
Из них (1), (3), (4), (6) и (7) становятся проще, если выразить их через 2π, а (2), (5), (8), (9) и (10) — через π. Я бы назвал это «ничьей».
В этом списке отсутствует очень важная формула, связанная с пи, которая является не уравнением, а приближением:
Эта формула, приписываемая Джеймсу Стирлингу 1730-х годов, была выражена им скорее словесно, чем символически, включая латинские слова, обозначающие «окружность круга, радиус которого равен 1», то есть, говоря современным языком, 2π. Так что и Стирлинг, вероятно, отдал бы предпочтение 6,28... перед 3,14.....
Так что же произошло?
Почему Эйлер переметнулся на другую сторону? Мы не можем спросить его, но естественно думать, что он хотел следовать прецеденту. Архимед был не единственным древним мыслителем, кто сосредоточился на 3,14..., а не на 6,28..... Многие цивилизации изучали круги и находили приблизительные способы вычисления их окружностей, но, насколько мне известно, ни одна из них не рассматривала отношение окружности к радиусу. Вероятно, это объясняется практическими соображениями: если вы держите в руке диск или пытаетесь измерить круглый участок земли, проще получить точную оценку диаметра, чем точную оценку радиуса (кроме как оценив диаметр и разделив его на два). А Архимед был практиком — он был не только математиком, но и инженером.
С другой стороны, Архимед был греческим математиком, следовавшим традиции Евклида, а эта традиция почитала построение почти так же, как и доказательство. Греческое определение окружности было связано с её радиусом — что вполне логично, поскольку классическим греческим способом построения окружности был циркуль. Так что если бы Архимед чувствовал себя скорее учеником Евклида, когда работал над кругами, он, возможно, предпочёл бы измерять окружность круга по его радиусу, а не по диаметру. И тогда мы вполне могли бы принять 6,28... в качестве константы окружности и даже ввести греческую букву «π» для её обозначения.
В последние годы высказывается мнение, что математика была бы проще, если бы мы изначально приняли 2π в качестве фундаментальной величины. Впервые это предложение высказал Боб Пале в своей статье «π — это неправильно!», а другие после него выступали за принятие греческой буквы тау для обозначения 6,28…: см. «Манифест тау» Майкла Хартла. Как я показал выше, примерно половина самых распространённых формул, связанных с пи, становится проще, если выразить их в терминах тау. Никто не ожидает, что τ будет преобладать над π, но его сторонники отличаются той жизнерадостностью, которую часто можно встретить у приверженцев бессодержательных заблуждений.[7] День тау отмечается 28 июня, но эта дата приходится на период между окончанием большинства школьных занятий и началом большинства математических лагерей, поэтому начинающий праздник с трудом набирает обороты.
У меня есть два скромных предложения. Первое заключается в том, что, продолжая принимать 3,14... в качестве «правильного» числа пи, мы будем отмечать «День достаточно хорошего пи» в честь приближённого числа 3,1, которое достаточно близко для большинства целей. Его можно отмечать либо 3 числа 1 месяца, которое совпадает с перигелием орбиты Земли вокруг Солнца, либо 1 числа 3 месяца, которое совпадает с днём, когда Земля прошла один радиан мимо перигелия. Ладно, я немного искажаю эти даты, но только на день или два. Может быть, эти астрономические совпадения подталкивают нас в направлении «Дня достаточно хорошего пи»?
Но ещё более важным приближением к пи, заслуживающим широкого признания, является число три. Три — это, в конце концов, библейское приближение к пи — обстоятельство, которое заставило профессора Борегара Богусяна утверждать, что окружность круга в точности равна трём его диаметрам, а любые кажущиеся отклонения от равенства объясняются падшим состоянием человечества, как описано в его видео «Правда о пи». Три — это также действительно транс-универсальное приближение к пи, не зависящее от конкретного выбора основания и, следовательно, способное понравиться существам с любым количеством придатков. В качестве способа празднования π ≈ 3 я предлагаю, чтобы третья трапеза каждого дня впредь называлась «еда пи», и чтобы мы чествовали число 3 во время каждой такой трапезы, съедая ровно 3 кусочка пирога. Если мы будем последовательно выполнять этот ритуал, то со временем приблизим мистическую округлённость круга к любому желаемому уровню приближения.
Примечания
-
Конечно, можно возразить, что в глубоко иной вселенной никто не стал бы изобретать интегрирование или даже квадратные корни, не говоря уже о попытках оценить этот интеграл. С такой позицией трудно спорить, но также трудно получить удовольствие от разговора, в котором на любую попытку логического вывода можно ответить: «Да, это логично, но что, если сами правила логики там были другими?»
-
У 1.57... меньше поклонников, чем у 3.14... и 6.28..., но поклонники всё же есть. Один из них — К. В. Риган, который, отвечая на запись в блоге Лэнса Фортноу и Билла Гасарха о причинах, по которым 6,28... лучше, чем 3,14..., написал: «Я согласен, что „истинное“ значение „пи“ отличается в 2 раза — но в противоположном направлении!» Я сочувствую поклонникам 1,57..... Во-первых, 1,57... — это универсальный коэффициент раздражения, измеряющий, насколько дальше вам придётся идти, если перед вами круговое препятствие, которое вы должны обойти, а не пройти.
-
Попытки приблизить пи появились задолго до Архимеда, так что этот термин — немного неправильное название, и вы можете предположить, что именно европейские грекофилы ввели этот термин, но вы ошибётесь: термин «константа Архимеда» был введён японскими грекофилами в начале 20-го века.
-
Разница в точке зрения очень тонкая, и современному читателю может оказаться трудно её понять, поскольку для этого нужно отказаться от привычных представлений о числах и измерениях, которые вдалбливают нам с раннего возраста. Подробнее о греческой теории пропорций я рассказываю в своём эссе «Тонкий нож Дедекинда», опубликованном в прошлом месяце.
-
Другой термин, который использовался, — «число ван Селена», хотя иногда он обозначал приближение ван Селена к пи, а не само пи.
-
Формула Грегори была независимо открыта двумя годами позже Готфридом Вильгельмом Лейбницем. Ни тот, ни другой не знали об этом, но формула была найдена Мадхавой из Сангамаграмы более чем двумя столетиями ранее. Все три математика вывели формулу одним и тем же способом: найдя разложение в степенной ряд функции arctan x и подставив в неё x = 1. По сей день, когда мне нужно узнать первую дюжину цифр π, я часто набираю «4*a(1)» в UNIX-программе bc, в результате чего мой ноутбук вычисляет 4 арктангенса от 1. Подробнее о пи и bc читайте в эссе Джона Д. Кука «Вычисление пи с помощью bc».
-
Мне близок этот вид фаталистической пристрастности; я был фанатом Red Sox, пока они не выиграли Мировую серию, после чего быть фанатом Red Sox стало уже совсем не так интересно.
Автор: SLY_G
