Математическая продлёнка. Изобретаем числа II

Это вторая часть серии статей, посвящённой построению числовых систем, основанных на упорядоченных парах (целые, рациональные, гауссовы, двойные, дуальные...). В предыдущей статье мы рассмотрели как строится кольцо целых чисел из пары натуральных, освоившись с понятиями классов эквивалентности и факторизацией. В этой построим ещё одну знакомую числовую систему: поле рациональных чисел.

Материал расчитан на тех, кто учит старшеклассников или младшекурсников

Как объяснить правила сложения, умножения и сравнения для дробей? Откуда взялись общие знаменатели, деление многоэтажных дробей, всевозможные «методы бабочки» и прочие премудрости, подстерегающие человека классе в шестом?

Это заметки к занятиям математического кружка, так что в моëм вопросе кроется подвох. В отличие от педагогики, в математике «объяснить», значит не найти подходящую, красивую и простую аналогию, опирающуюся на повседневный опыт, а показать что по-другому быть и не может. Математическое объяснение чего-либо включают в себя обоснование корректности, согласованности с более общими или частными категориями, единственности или оптимальности той, или иной конструкции. О простоте речь, как правило, не идëт.

Так рождаются «объяснения», становящиеся со временем мемами, на подобие фразы Джеймса Айри: «Монада, это всего лишь моноид в категории эндофункторов. Что тут может быть непонятно?» относящаяся к одному неочевидному понятию из функционального программирования, которое различные популяризаторы, пытаясь объяснить попроще, сравнивают то с воронкой, то космическим скафандром, то с шаурмой.

Но для чего простому читателю, или, тем более, школьнику, знать как объясняются между собой математики? Нам же всем нужно чего попроще, доходчивее и практичнее? А ещё лучше, если это простое и доходчивое аккуратно завёрнуто в красочную «полезняшку», типа пресловутого «метода бабочки». Однако я убеждëн в том, что педагога (наставника или родителя) кроме мастерства в подборе качественных и красочных аналогий, делает сильным умение «читать в подлиннике» тот материал, который он преподаëт. Тогда от «полезняшек» и объяснений «на пальцах» у нас есть шанс перейти к прочному знанию и способности строить нечто сложное и по‑настоящему красивое.

Итак, я предлагаю сегодня внимательно рассмотреть математическое (алгебраическое) объяснение всем операциям над рациональными числами, представленными в виде дробей. Обратили внимание на моë занудство? Рациональные числа и дроби это не одно и то же. С точки зрения алгебры, множество рациональных чисел — это пример поля, то есть, множества неких объектов произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения, и в которой разрешимы все корректные линейные уравнения.

Примеров полей в математике много: вещественные и комплексные числа, конечные поля вычетов и их расширения, поля обратимых линейных операторов (матрицы с ненулевым определителем) и рациональных функций. От всех этих примеров рациональные числа отличает то, что любой элемент поля однозначно можно определить, как решение целочисленного уравнения:

Всë, больше ничего нам знать об этом самом  не нужно! Мы будем "разматывать" все свойства рациональных чисел из этого основополагающего уравнения. Оно однозначно задаётся парой целых коэффициентов , так что и уравнение и пару можно считать эквивалентными моделями (представлениями) рационального числа. Для нас привычна запись такой пары в виде дроби  или отношения  но это всего лишь обозначение, принятое с подачи средневековых арабов. Мы, для того чтобы абстрагироваться от привычного, продолжим обозначать рациональное число формальной парой однако дадим её элементам знакомые имена: первый — числитель, второй — заменатель.

Эквивалентность и сокращение дробей

Две пары равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы. Однако, важнее равенства оказывается более слабое отношение эквивалентности, позволяющее отождествлять не равные между собой объекты, имеющие одинаковый смысл. Об эквивалентности мы говорили подробнее в первой статье этой серии.

Рациональные числа мы определяем уравнениями, а когда можно считать эквивалентными два уравнения? Для алгебраических уравнений — тогда, когда совпадают как их порядок, так и корни (это следует из основной теоремы алгебры и теоремы Безу).

В частности, такие два линейных уравнения:

эквивалентны для любого ненулевого значения , если в нашей числовой системе нет нетривиальных делителей нуля. В полях таких делителей быть не может (это доказывается отдельно, но зато универсально), а коль скоро наша цель — построение поля рациональных чисел, то умножение на число левой части уравнения не изменит уравнения.

Пользуясь распределительным законом для умножения, можно переписать два эквивалентных уравнения таким образом:

и сделать вывод, что

для любого , отличного от нуля. Таким образом, мы приходим к понятию сокращения дробей с помощью выделения наибольшего общего делителя  у еë элементов.

Однако есть более общее и более практичное отношение эквивалентности для двух пар. Запишем два уравнения для чисел и после чего, приведём их к одинаковому коэффициенту при неизвестном (к одному знаменателю):

Такие два уравнения будут эквивалентны только если свободные члены в них совпадают. Так мы получаем общее отношение эквивалентности для двух рациональных чисел:

Оно не требует владения алгоритмом Евклида для выделения наибольшего общего делителя, и является более общим, поскольку предыдущее выведенное нами отношение эквивалентности следует из него в качестве частного случая.

Факторизация

Каждое рациональное число уникально, однако, как мы увидели, оно может быть корнем бесконечного множества уравнений и представлено бесконечным множеством пар, эквивалентных друг другу. Это даëт нам повод факторизовать все возможные представления рациональных чисел, разбив их на классы эквивалентности, которые, собственно, и будут полноценной моделью элементов этого поля.

Представителем класса может быть любая пара, но только одна из них будет состоять из взаимно простых элементов. Если бы нам удалось найти две различные пары взаимно простых элементов и эквивалентных друг другу, то условие эквивалентности  вместе с основной теоремой арифметики приведут нас к тому, что  и 

Таким образом, уникальным представителем класса, соответствующего конкретному рациональному числу, будет пара взаимно простых целых чисел. Далее, именно такие пары мы и будем иметь в виду, обозначая их квадратными скобками:

Класс , где и взаимно простые целые числа, включает в себя все пары вида , и представляет рациональное решение уравнения

Если геометрически представить целочисленные пары, как точки на плоскости, то все они образуют регулярную квадратную решётку. Многообразие чисел , эквивалентных числу , описывается линейным уравнением

Оно описывает прямую линию, проходящую сквозь начало координат и через все точки, представляющие одно и то же рациональное число. Получается, что геометрическим представлением множества будет многообразие прямых, проходящих сквозь начало координат, а рациональные числа определяют наклон этих прямых.

Вот как выглядит множество классов эквивалентности рациональных чисел для целочисленной решётки в первой четверти:

Кольцо целых чисел входит в как подструктура. В целых числах уравнение  разрешимо только если  делится на . А поскольку мы рассматриваем только взаимно простые пары коэффициентов, то единственный вариант обеспечить такую делимость, это положить . Отсюда следует, что целое число  будет представлено классом .

В частности, (класс элементов вида ) представляет рациональный аналог единицы, а представляет ноль (класс пар вида ).

Факторизация позволяет рассуждать о равенстве рациональных чисел. Два рациональных числа равны друг другу, если они представлены эквивалентными парами, и попадают в один класс. При этом каждый класс уникален и все они не равны друг другу.

Умножение

Посмотрим, как должно выглядеть произведение двух чисел x и y, решающих уравнения:

Перемножив эти уравнения, то есть, умножив обе части первого уравнения на правую часть второго, мы получим уравнение для произведения чисел  и :

Ему соответствует пара , и мы можем записать правило умножения покомпонентно:

Легко убедиться в том, что любой представитель класса является нейтральным элементом по умножению.

Обратный элемент

Число y обратно числу , если оно решает уравнение:

которое для пар записывается так:

Поскольку все элементы пар — целые числа, а в целых числах нет иных делителей единицы, кроме , то единственный способ обеспечить это равенство состоит в сведении его к элементу класса , в котором: Поскольку числа по разные стороны равенства взаимно просты, из него следует, что  и , то есть, что

Таким образом, деление рациональных чисел, мы можем свести к умножению, поменяв местами элементы делителя:

Заметим, что любое рациональное число можно единственным образом представить в форме произведения целого числа и числа, обратного целому:

Именно такое разложение делает корректной ещё одну распространëнную модель рационального числа, с которой мы все хорошо знакомы со школы — рациональное число, как целое количество равных долей единицы, либо какого-то объекта: отрезка, часа, яблока, торта и т. п.

Сложение

Запишем вновь два уравнения, характеризующие два рациональных числа  и 

Умножим первое уравнение на , а второе — на , и сложим вместе. Таким образом, мы получим их линейную комбинацию, которая позволяет нам получить уравнение для суммы :

из которого немедленно следует, общее правило сложения:

Алгебраическое объяснение того, откуда берëтся приведение к общему знаменателю не кажется мне более простым или правильным, чем то, что мы используем в школе, приводя половинку и треть торта к трëм и двум шестым частям, перед тем, как их сложить. Но алгебра строго показывает, что это единственно возможный способ сложения рациональных чисел, согласующийся с их алгебраическим представлением в виде пары целых чисел. Единственность вытекает из линейности, как определяющих уравнений, так и операции сложения.

«Наивное» покомпонентное сложение дробей

тоже имеет смысл, оно называется медиантой двух рациональных чисел, и является одним из способов вычисления среднего значения. Об этой операции мы уже писали в материале про вопросительный знак Минковского.

Противоположный элемент

С чем следует сложить число , чтобы оно обратилось в ноль или в любую эквивалентную ему пару? Давайте посмотрим!

Поскольку знаменатель в классе произволен, то последнее равенство сводится к однородному линейному диофантовому уравнению с двумя неизвестными:

которое для взаимно простых чисел  и  имеет семейство решений . Всë это семейство попадает в один класс . Значит, мы можем получить выражение для противоположного числа:

А какое рациональное число считать положительным, а какое отрицательным? Этот вопрос может показаться излишним, но попробуйте адресовать его, например, комплексным числам, и вы поймёте, что для пар всë не так очевидно, как для линейно упорядоченных чисел.

Отношение порядка

Пора определить отношение порядка на множестве . Для этого вновь обратимся к уравнению, определяющему число :

Умножим обе части равенства на еë левую часть:

получив неотрицательные числа по обе стороны равенства. Отсюда следует, что знак числа  должен совпадать со знаком произведения целых чисел , которое хорошо определено:

То есть, у положительного рационального числа числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, а у отрицательного — разные. Для определëнности, можно решить, что у представителей классов знаменатель всегда будет положительным, и носителем знака будет числитель.

Теперь для сравнения между собой двух рациональных чисел достаточно сравнить с нулëм их разность:

Отсюда, коль скоро мы договорились считать знаменатели положительными, следует, что

Как видим, это отношение порядка согласуется с условием эквивалентности, когда от нестрогого неравенства мы переходим к равенству.

От порядка к топологии

В школьном курсе отношение порядка связано только с решением неравенств, и, прямо скажем, большого энтузиазма у учеников не вызывает. В «большой» же математике это путь к постижению самых фундаментальных свойств алгебраических систем.

Введëнное отношение порядка позволяет доказать очень важное свойство рациональных чисел — их плотность. Оно состоит в том, что какие бы два рациональных числа мы ни выбрали, между ними можно найти ещё и другие рациональные числа.

Рассмотрим два отличающихся числа и , такие, что , и найдём их медианту:

Сравнение её с нашими числами (попробуйте сами, получите удовольствие) показывает, что

а так как это полноценное рациональное число, то оно точно отыщется. Можно было бы расположить между нашими числами и среднее арифметическое, но вычисления при этом будут куда более громоздкими.

У плотности есть несколько полезных следствий:

• На любом открытом интервале можно построить бесконечно убывающую последовательность рациональных чисел.

• К любому вещественному числу, даже не являющемуся рациональным, можно подобраться сколь угодно близко, оставаясь в поле рациональных чисел. На этом основаны многие методы приближённых вычислений, такие как метод деления отрезка пополам, метод Ньютона или приближение функций суммами и произведениями рядов.

Рациональные числа, имея определённое нами отношение порядка, образуют топологию стрелки, которая позволяет построить отображение множества решений линейных целочисленных уравнений на числовую прямую.

Для этого можно воспользоваться геометрическим представлением этого множества как многообразия прямых. Каждая прямая представляет отдельное число, то есть, точку. Этот чрезвычайно проективный подход наводит на мысль о том, что можно спроецировать эти прямые на какой-нибудь «экран», чтобы получить эти числа-точки.

Проведëм горизонтальную прямую через точку , представляющую ноль, с уравнением . Все прямые с уравнениями будут пересекать горизонтальную прямую в точках, для которых выполняется уравнение , то есть в точках, однозначно соответствующих рациональным числам.

Экраном может служить не прямая, а единичная окружность. Тогда точки пересечения с ней задают рациональную параметризацию окружности, полезную для построения алгебраической (рациональной) тригонометрии.

Опять же, это не единственный способ отображения рациональных чисел на прямую. Альтернативным способом могут быть круги Форда, или иные, нелинейные отображения:

Наконец, кроме линейного порядка можно построить и иную топологию для . Например, воспользовавшись медиантой, мы способны расположить всё множество в древовидную структуру:

Ну, что же, все основные школьные формулы для дробей мы благополучно получили из одного единственного линейного уравнения. Дальше, по-хорошему, требуется доказать, что арифметические операции согласуются с отношениями эквивалентности и порядка, и что для них справедливы все законы коммутативного поля: переместительный, сочетательный и распределительный. Это вовсе несложно, но нудновато, так что, как говорится, оставляю это читателю в качестве упражнения.

Остаëтся добавить, что все приведённые выше рассуждения (кроме отношения порядка) справедливы и для кольца многочленов, давая обоснование для весьма содержательной алгебры рациональных функций. Необходимо также заметить, что кроме дробей и равных частей целого, существуют и другие модели рациональных чисел, которые строятся на иных принципах: десятичные дроби (расширение кольца вычетов по модулю 10 элементом 1/10), цепные дроби, p-адические числа и т.д.

В следующей статье мы, наконец, перейдём к менее привычным числовым системам, а именно, к Гауссовым числам.