Главная

Простые числа: ключ к математическим тайнам

2024-11-27 в 11:15, admin, рубрики: гипотеза римана, простые числа

Простые числа и их значение

Простые числа — это числа больше 1, которые делятся только на 1 и на себя. Они играют фундаментальную роль в математике, будучи основой для всех остальных чисел, поскольку любое число можно представить как произведение простых множителей. Например, числа 2,3,5,7 — простые, так как они не имеют других делителей, кроме себя и единицы.

Значение простых чисел выходит далеко за пределы теоретической математики. Они используются в криптографии для защиты данных, в компьютерных алгоритмах и даже в теории кодирования информации. Их исследование продолжается на протяжении веков, открывая всё новые и неожиданные закономерности.

Гипотеза Римана: связь с простыми числами

Одним из наиболее глубоких и таинственных вопросов в математике остаётся гипотеза Римана, сформулированная в 1859 году. Эта гипотеза утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана Функция Римана: Функция Римана: (s) имеют вещественную часть, равную $frac{1}{2}$ .

Эта гипотеза напрямую связана с распределением простых чисел. Используя тождество Эйлера:

$zeta(s)=prod_{p , text{простое}} frac{1}{1 - p^{-s}}, quad s > 1.$

можно увидеть, как простые числа "встроены" в структуру дзета-функции. Если гипотеза Римана верна, это даёт возможность точно описать распределение простых чисел, включая количество простых чисел π(N) до заданного числа N.

Трудности доказательства гипотезы

Несмотря на её простую формулировку, гипотеза Римана остаётся одной из самых сложных нерешённых проблем в математике.

Сложность дзета-функции: Она описывается сложными формулами, которые трудно анализировать на больших числах.
Многогранность проблемы: Гипотеза связана с множеством других областей математики, включая теорию чисел, математический анализ и даже квантовую физику.
Отсутствие подходящих методов: Многие современные методы исследования чисел оказываются недостаточными для доказательства гипотезы.

Сумма корней квадратов простых чисел

В ходе моего исследования была проанализирована закономерность, связанная с суммой корней квадратов простых чисел. Рассмотрим простые числа, квадраты которых не превышают заданного числа N.

Что это такое?

Рассмотрим множество простых чисел p, квадраты которых не превышают заданного числа N. Найдём корни этих квадратов, то есть сами числа p, и сложим их. Полученная сумма обозначается как S.

Формула для S имеет следующий вид:

$S=sum_{p , text{простое}, p^2 leq N} p$

Примеры для наглядности

Лимит N = 1000:

Простые числа p, удовлетворяющие ≤ 1000:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Сумма:

S = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 = 129.

Лимит N = 10,000:

Простые числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ... (всего 22 числа).
Сумма:

S = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + ⋯ + 97 = 652.

Лимит N=1,000,000:

Количество простых чисел: 78,498.
Сумма корней квадратов: 76,127.

Сравнение суммы и количества простых чисел

Для каждого лимита мы можем сравнить сумму корней квадратов S с количеством простых чисел π(N).

Лимит N	Количество простых чисел π(N)	Сумма корней квадратов S
1,000	168	129
10,000	1,229	652
100,000	9,592	3,044
1,000,000	78,498	76,127
2,000,000	148,933	141,676
5,000,000	348,513	336,042
10,000,000	664,579	642,869
50,000,000	3,001,134	2,991,739

Закономерности отношений

Отношение количества простых чисел к сумме корней квадратов:

$R_1=frac{S}{pi(N)}$

На больших интервалах (N >) это отношение стремится к 1. Например:

Для N = 1,000,000:

$R_1=frac{78,498}{76,127} ≈ 1.03.$

Для N = 50,000,000:

$R_1=frac{3,001,134}{2,991,739} ≈ 1.003.$

Отношение количества натуральных чисел N к сумме корней квадратов, чьи корни являются натуральными:

$R=frac{N}{sum_{k=1}^{lfloor sqrt{N} rfloor} k}$

Где:

N — общее количество натуральных чисел.
$sum_{k=1}^{lfloor sqrt{N} rfloor}k$ - Сумма всех натуральных чисел от 1 до , то есть корней квадратов натуральных чисел, не превышающих N.

Вычисление отношения :
Сумма первых m натуральных чисел:

$sum_{k=1}^m k=frac{m(m+1)}{2}, где quad m=lfloor sqrt{N} rfloor.$

Подставляя это в формулу R, получаем:

$R=frac{2N}{lfloor sqrt{N} rfloor (lfloor sqrt{N} rfloor + 1)}.$

Асимптотика:
Для больших N отношение R приближается к:

$R sim frac{2N}{N}=2.$

Это значит, что при , значение R стремится к 2 .

Реализация расчётов с помощью JavaScript

habr

    if (num < 2) return false;
    for (let i = 2; i <= Math.sqrt(num); i++) {
        if (num % i === 0) return false;
    }
    return true;
}

function calculate(limit) {
    let countPrimes = 0;
    let sumRoots = 0;

    for (let i = 2; i <= limit; i++) {
        if (isPrime(i)) {
            countPrimes++;
            if (i * i <= limit) {
                sumRoots += i;
            }
        }
    }

    return { countPrimes, sumRoots };
}

// Лимит
const limit = 1000000;
const result = calculate(limit);

console.log(`Лимит: ${limit}`);
console.log(`Количество простых чисел: ${result.countPrimes}`);
console.log(`Сумма корней квадратов простых чисел: ${result.sumRoots}`);
console.log(`Отношение (Количество / Сумма): ${(result.countPrimes / result.sumRoots).toFixed(5)}`);

habr

Заключение

Анализ суммы корней квадратов простых чисел S в сравнении с количеством простых чисел π(N) показывает их удивительное сближение. На больших интервалах отношение π(N)/S стремится к 1, что указывает на глубокую связь между этими характеристиками.

Эти закономерности подчёркивают красоту и сложность мира чисел, открывая новые пути для исследования, которые могут иметь значение как для доказательства гипотезы Римана, так и для других задач теории чисел.

Автор: MRTAGIR

Источник