Непостоянные потери в Uniswap V2 + V3

2024-09-07 в 15:12, admin, рубрики: dex, Impermanent loss, Uniswap v2, Uniswap v3, Децентрализованные биржи, Децентрализованные финансы, криптовалюта, Непостоянные потери

В этой статье я расскажу что такое Uniswap Impermanent Loss, и почему это такая острая тема для провайдеров ликвидности.

Более конкретно, что вас ждёт в статье:

Небольшое погружение в то как работает Uniswap V2
Impermanent Loss для Uniswap V2
Погружение в то как работает Uniswap V3
Impermanent Loss для Uniswap V3
Проблемы провайдеров ликвидности или почему эта тема очень важна для них

Небольшое погружение в то как работает Uniswap V2

Uniswap - децентрализованная биржа, на которой можно обменять одни токены на другие. Там нету заявок на покупку или на продажу, а цена определяется формульно:

- количество токенов первого типа в пуле

- количество токенов второго типа в пуле

- константа, задающаяся начальными условиями: произведение кол-в токенов в момент времени перед обменом

Пусть в какой-то момент времени в пуле было монет и , и пусть какой-то человек хочет купить токены второго типа (), за токены первого типа в размере . Тогда происходит следующее.

В пуле теперь токенов, константа гиперболы та же, поэтому выполняется

Отсюда находим - сколько токенов он получит за отданные

Токены второго типа стали дороже. Цена, по которой произошел обмен: $P=frac{Delta y}{Delta x}$ (либо перевернуть дробь, если хотим измерить в другой монете)

Откуда берется ликвидность в этих пулах?

Есть другая часть пользователей, которая предоставляет ликвидность в такие пулы - провайдеры ликвидности. Они кладут свои токены в эти пулы, и получают комиссии за каждый обмен токенов в этом пуле. Например, при свопе, описанном выше, сначала берется комиссия, и только потом происходит обмен токенов.

Комиссия за обмен распределяется между провайдерами ликвидности в соответствии с вкладом токенов в этот пул.

После обмена общее количество токенов первого типа выросло, а второго - уменьшилось, соответственно у провайдеров ликвидности соотношение кол-ва токенов, которое у них лежит в пуле, тоже поменялось.

Непостоянные потери в Uniswap V2 + V3 - 14

Impermanent Loss (для Uniswap V2)

Когда другой пользователь произвел обмен токенов, цена одного токена к другому поменялась. Также поменялось и общее соотношение количества токенов в пуле и соотношение у каждого провайдера ликвидности.
Количество токенов, которые стали стоить дороже, уменьшилось, а тех что стали стоить дешевле - увеличилось.

В итоге суммарная стоимость активов у каждого провайдера ликвидности поменялась.

$x=frac{L^2}{y}$ $y=frac{L^2}{x}$ $d(x cdot y)=xdy + ydx=d(L^2)=0=> xdy=- ydx=> frac{dy}{dx}=- frac{y}{x}$

Один дифференциал обычно считаем положительным, второй - отрицательным, получим

$P=frac{dy}{dx}=frac{y}{x}$

- цена одного токена, выраженная во втором токене

$x=frac{L}{sqrt{P}}$

Выведем формулу для Impermanent Loss Uniswap V2:

Суммарная стоимость активов в зависимости от цены:

Пусть в начальный момент времени юзер планирует положить в Uniswap V2 токены в количествах , . В начальный момент времени суммарная стоимость этих токенов равна:

$V_0=y_0 cdot 1 + x_0 cdot P_0=2 cdot L cdot sqrt{P_0}$

Непостоянные потери в Uniswap V2 + V3 - 27

Если бы человек не клал токены в юнисвоп, а просто "холдил" бы их, его суммарное портфолио в зависимости от цены:

$V_{held}=y_0 cdot 1 + x_0 cdot P=L cdot sqrt{P_0} + frac{L}{sqrt{P_0}} cdot P$

Для упрощения формул, положим ,

$V_{held}=L cdot sqrt{P_0} cdot (1 + k)$ $IL=frac{V - V_{held}}{V_{held}}=frac{L sqrt{P_0} cdot (2sqrt{k} - (1+k))}{Lsqrt{P_0} cdot (1+k)}=frac{2sqrt{k}}{1+k} - 1$

То есть таким образом можно смотреть, насколько юзер в минусе / плюсе по сравнению с тем, как если бы он не клал токены в uniswap, а просто пассивно бы их держал на кошельке.

Непостоянные потери в Uniswap V2 + V3 - 33

Иногда Impermanent Loss называют просто зависимостью суммарной стоимости позиции от цены, потому что не всегда интересно сравнивать только с позицией холда токенов в изначальной пропорции.

Небольшое погружение в то как работает Uniswap V3

Важно:

Я здесь специально опускаю некоторые детали, связанные с устройством Uniswap V3 (например активация лишь некоторых price ticks, разное кол-во decimals у разных токенов, etc) так как в данном случае они не сильно влияют на результат, но усложняют статью.

В случае Uniswap V3 провайдеры ликвидности могут выбирать, в каком ценовом диапазоне будут использоваться их токены. Таким образом, предоставляемая ликвидность распределяется равномерно не на весь диапазон , а равномерно в отрезке ,

- нижняя, - верхняя выставленная цена.

Это выгодно тем, что теперь, выставляя более узкий ценовой диапазон, доля юзера в ликвидности на конкретной цене (на конкретном 'price tick') становится больше, поэтому комиссий он заработает больше. Однако увеличивается и Impermanent Loss, который испытывает его позиция.

Идея аналогична с Uniswap V2. При обмене первого токена на второй так же прибавляется , и убавляется .

В случае Uniswap V3 уже гипербола немного другая: приспустившись, она уже пересекает оси Ox и Oy.

$(x + frac{L}{sqrt{P_b}}) cdot (y + L cdot sqrt{P_a})=L^2$

Если сделаем замену переменных, можем привести эту гиперболу к привычному виду:

$begin{cases} x_{virtual} cdot y_{virtual}=L^2, newline newline x + frac{L}{sqrt{P_b}} geq 0, newline newline y + L cdot sqrt{P_a} geq 0 end{cases}$

В случае когда выполняются неравенства, юнисвоп позиция находится в активном состоянии и генерирует комиссии.

Соответственно будут работать выведенные выше формулы, связывающие кол-во токенов, ликвидность и текущую цену (формулы из Uni V2):

$y_{virtual}=L cdot sqrt{P}$ $x_{virtual}=frac{L}{sqrt{P}}$

Теперь выразим , :

$y=y_{virtual} - L cdot sqrt{P_a}=L(sqrt{P} - sqrt{P_a})$ $x=x_{virtual} - frac{L}{sqrt{P_b}}=L(frac{1}{sqrt{P}} - frac{1}{sqrt{P_b}})$

Когда цена становится равной , ликвидность юзера уже не участвует с обменах и не получает комиссии. Также теперь у него 0% токенов первого (цена которых поднялась) типа и 100% токенов второго типа.
Аналогично с тем, когда цена упала до . Тогда у юзера теперь становится 100% первого (обесценившегося) токена и 0% второго токена и ликвидность снова не участвует обменах.

Зануляя либо либо , можем найти точное количество токенов оставшегося типа.

$(x + frac{L}{sqrt{P_b}})cdot(y + L sqrt{P_a})=L^2$

Количество токенов, когда цена поднялась выше верхней цены:

$P=P_b=> x=frac{L}{sqrt{P}} - frac{L}{sqrt{P_b}}=0$

$P=P_b=> y^*=Lsqrt{P} - Lsqrt{P_a}=Lsqrt{P_b} - Lsqrt{P_a}$

$y^*=Lsqrt{P_b} - Lsqrt{P_a}$

Количество токенов, когда цена опустилась ниже нижней цены:

$P=P_a=> x^*=frac{L}{sqrt{P}} - frac{L}{sqrt{P_b}}$

$x^*=frac{L}{sqrt{P_a}} - frac{L}{sqrt{P_b}}$

Непостоянные потери в Uniswap V2 + V3 - 59

Impermanent Loss (для Uniswap V3)

Аналогично выводу IL для Uniswap V2, запишем полную стоимость позиции в зависимости от цены:

$V=ycdot 1 + x cdot P=L(sqrt{P} - sqrt{P_a}) + L(sqrt{P} - frac{P}{sqrt{P_b}})$

Пусть как прежде

$V(P)=2Lsqrt{P} - L(sqrt{P_a} + frac{P}{sqrt{P_b}})$ $V(k)=2Lsqrt{P_0 cdot k} - L(sqrt{P_a} + frac{P_0 cdot k}{sqrt{P_b}})$

Если бы юзер не открывал юнисвоп позицию, а просто холдил в том же соотношении как в начальный момент времени:

$V_{held}=y_0 + x_0 cdot P=L(sqrt{P_0} - sqrt{P_a}) + L P_0 k (frac{1}{sqrt{P_0}} - frac{1}{sqrt{P_b}})$ $V_{held}=Lsqrt{P_0}(1+k) - L(sqrt{P_a} + frac{P_0 cdot k}{sqrt{P_b}})$

Impermanent loss:

$IL=frac{V(P) - V_{held}}{V_{held}}$ $IL=frac{2Lsqrt{P_0 cdot k} - Lsqrt{P_0}(1+k)}{Lsqrt{P_0}(1+k) - L(sqrt{P_a} + frac{P_0 cdot k}{sqrt{P_b}})}$

Немного упростим

$IL(k)=frac{2sqrt{k} - 1 - k}{1 + k - sqrt{frac{P_a}{P_0}} - ksqrt{frac{P_0}{P_b}}}$

Эта формула справедлива при выполнении неравенств, которые я писал чуть выше. На всякий случай продублирую ещё раз.

$begin{cases} x + frac{L}{sqrt{P_b}} geq 0, newline newline y + L cdot sqrt{P_a} geq 0 end{cases}$

Непостоянные потери в Uniswap V2 + V3 - 70

Проблемы провайдеров ликвидности

Теперь рассмотрим риск-профиль юзера, положившего ликвидность в Uniswap V3.
Риск-профиль - в данном случае зависимость суммарной стоимости позиции от цены.
При сильных падениях цены, во-первых, у юзера будет всё больше и больше дешевеющих токенов, соответственно он будет терять денег всё больше и больше - то есть можно сказать что у него незащищенный риск, связанный с ценой базового актива.

Юзеру вероятно хотелось бы быть менее зависимым от цены на базовый актив (e.g. цены на эфир, если это пара "eth-usdc"), и при этом всё ещё зарабатывать комиссии как провайдер ликвидности.

Что он может сделать?

Он может захеджировать (=защититься от риска) свою позицию.

А как это можно сделать - расскажу в следующих статьях.

Больше интересных статей из мира DeFi – в моём телеграм-канале:

https://t.me/kirrya_achieves

Автор: kirrya

Источник

Информация

Обсуждаемое

Рекомендуем

Непостоянные потери в Uniswap V2 + V3