Сферический БПЛА в воздухе

2022-11-04 в 16:36, admin, рубрики: Без рубрики

Обычно, когда мы говорим о беспилотных летательных аппаратах (БПЛА) ^[1], на ум сразу приходит квадрокоптер (или другой представитель класса мультикоптеров, например, гекса- или октокоптер). Но строго говоря, беспилотник не обязательно должен быть мультикоптером – он может быть выполнен в виде любой механической схемы, которая ранее была разработана для пилотируемого полёта.

Например, это может быть летательный аппарат легче воздуха, то есть аэростат (воздушный шар) или дирижабль ^[2]. Данной статьёй мы открываем цикл публикаций, в котором расскажем в режиме «хроник лаборатории» о ходе нашего сайд-проекта по сборке БПЛА в виде стратостата ^[3]. Но прежде, чем что-то собирать, нужно хорошо разобраться в предмете, в его теоретической части. Поэтому мы решили начать с того, чтобы изучить динамику вертикального полёта воздушного шара.

Ничего принципиально нового, что бы не было известно до нас, мы на этом пути, конечно же, не открыли, но такой цели перед нами и не стояло. Сайд-проект, в первую очередь, делается ради интереса, для того, чтобы разработать и сконструировать что-то самим, а не только читать о чужих достижениях. В настоящей статье мы постарались изложить доступным языком основы динамики вертикального полёта аэростата, учитывая те сложности и ошибки, с которыми столкнулись сами при изучении материала.

1. Какие силы действуют на воздушный шар

Динамика полёта воздушного шара – вещь непростая и довольно капризная, так как приходится учитывать поведение ветра, которое не очень-то предсказуемо по своей природе. Именно поэтому, чтобы не утонуть на первых же шагах в чрезмерных сложностях, мы решили упростить задачу и ограничиться рассмотрением только вертикального полёта, то есть взлёта, набора высоты, снижения и посадки.

Для начала давайте разберёмся, какие силы действуют на аэростат и почему он вообще летает (а в более общей постановке вопроса – почему он изменяет свою высоту, то поднимаясь вверх, то опускаясь вниз).

Вертикальный полёт аэростата определяется тремя силами: силой тяжести, архимедовой силой и силой сопротивления воздуха.

Сила тяжестинаправлена всегда вниз.
Архимедова силанаправлена всегда вверх, и именно она заставляет аэростат подниматься. Поэтому эту силу ещё называют подъёмной.
Сила сопротивления воздуханаправлена против движения аэростата, то есть вниз при взлёте и наборе высоты, и вверх при снижении и посадке.

Отсюда второй закон Ньютона для шара в векторном виде будет выглядеть следующим образом:

$vec{a}m=vec{F_Т}+vec{F_А}+vec{F_С},qquad(1)$

где– ускорение ^[4] воздушного шара,– его масса.

Теперь дадим пояснения по каждой из трёх сил в уравнении (1), договорившись, что положительное направления осибудет направлено вверх. Таким образом, скоростьшара положительна, если он набирает высоту (летит вверх), и отрицательна, если он снижается (летит вниз). Ускорение свободного падениясоответственно, будет отрицательным; ускорение, вызванное архимедовой силой – положительным; а ускорение, вызванное силой сопротивления воздуха, будет иметь знак, противоположный знаку скорости.

Архимедова сила, где– плотность внешнего воздуха (атмосферы, в которой летит наш воздушный шар), а– это объём шара. Строго говоря, в качестве объёманужно брать объём всего аэростата, включая и гондолу. Но поскольку её объём существенно меньше объёма собственно шара, то есть шарообразной оболочки, наполненной газом легче воздуха, будем в качестве, для упрощения расчётов, рассматривать только объём этой шарообразной оболочки:

$V=frac{4}{3}pi r^3,qquad(2)$

где– радиус оболочки ^[5]. В дальнейшем нам понадобится площадь поперечного сечения шара (круга радиусом). Используя это выражение мы можем записать $V=frac{4}{3}Sr$ , откуда архимедова сила

$F_А=frac{4}{3}grho Sr.qquad(3)$

2. Как рассчитать ускорение воздушного шара

Теперь сделаем одно алгебраическое преобразование, которое позволит нам упростить формулу (1). Представим, что вся масса аэростатасосредоточена в объёме шара (оболочки). Введём понятие приведённой плотности

$rho_П=frac{m}{V},qquad(4)$

которая показывает, какая бы плотность была у аэростата, если бы вся его масса (гондола, оболочка, газ в оболочке) была размещена внутри самой оболочки. Отсюда полную массу аэростата можно выразить как

$m=rho_ПV=frac{4}{3}rho_ПSr.qquad(5)$

С массой и приведённой плотностью мы разобрались, с архимедовой силой тоже. Осталось разобраться с силой сопротивления воздуха:

$F_С=frac{crho Sv^2}{2},qquad(6)$

где– характерная площадь лобового сопротивления, а– коэффициент сопротивления.

В нашем случае– это площадь поперечного сечения шара (круга радиусом), которую мы уже рассмотрели выше. (Обратите ещё раз внимание:– площадь поперечного сечения шара, а не его поверхности).– безразмерный коэффициент сопротивления формы, который для шара равен[W1].– по-прежнему плотность внешнего воздуха (атмосферы), то есть среды, в которой осуществляется полёт и которая оказывает сопротивление.– вертикальная скорость шара.

Теперь, используя (3), (5), (6), запишем компоненты уравнения (1) в алгебраическом виде:

$am=frac{4}{3}arho_ПSrqquad(7а)$ $F_Т=-frac{4}{3}grho_ПSrqquad(7б)$

(так как сила тяжести всегда направлена вниз)

$F_А=frac{4}{3}grho Srqquad(7в)$ $F_С=mpfrac{crho Sv^2}{2}qquad(7г)$

Знакздесь показывает, что сила сопротивления воздуханаправлена вниз при подъёме шара и вверх при его спуске.

Правомерно также задать следующий вопрос: а стоит ли вообще учитывать силу сопротивления воздуха? Насколько значительный вклад она вносит в суммарное ускорение аэростата? Забегая вперёд, скажем, что да – стоит. Результаты численного моделирования, которые мы приведём в следующей статье, демонстрируют, что ускорение, создаваемое силой сопротивление воздуха, по порядку составляетот общего ускорения воздушного шара.

Выпишем теперь полное уравнение:

$frac{4}{3}arho_ПSr=-frac{4}{3}grho_ПSr+frac{4}{3}grho Srmpfrac{crho Sv^2}{2},qquad(8)$

разделим его на $frac{4}{3}rho_ПSr$ (массу аэростата) и получим

$a=-g+gfrac{rho}{rho_П}mpfrac{3c}{8r}cdotfrac{rho}{rho_П}cdot v^2.qquad(9)$

Итак, мы получили уравнение, ради которого все вышеприведённые математические выкладки и затевались. Оно описывает зависимость ускорения аэростата от других кинематических характеристик (скорости), параметров конструкции аэростата (массы и объёма, «замаскированных» под приведённую плотность и радиус оболочки) и параметров внешней среды (плотности воздуха и ускорения свободного падения) ^[6].

В следующей статье мы расскажем о том, как решать это уравнение, чтобы получить значения высоты полёта, скорости и ускорения аэростата для заданных моментов времени.

Примечания

^[1] Далее термины «беспилотный летательный аппарат», «беспилотник», «дрон» и сокращение БПЛА мы будем употреблять как синонимы.

^[2] Основное отличие аэростата от дирижабля с точки зрения механики состоит в том, что дирижабль оснащён силовой установкой и может управляемо перемещаться в заданном направлении в горизонтальной плоскости, в то время как перемещения аэростата в горизонтальной плоскости носят неуправляемый характер, он летит туда, куда дует ветер.

^[3] Хотя в конечном счёте проект будет посвящён сборке стратостата, начнём мы с обычного аэростата. Основное отличие между ними состоит в том, что аэростат предназначен для полётов в тропосфере (то есть на высотах до 11 км), а стратостат – в более высоких слоях атмосферы. Очень низкое атмосферное давление в высоких слоях накладывает на стратостаты дополнительные требования по прочности конструкции. Но уравнения динамики вертикального полёта аэростата и стратостата одинаковы, поэтому дальше, в целях упрощения изложения, мы везде будем использовать термин «аэростат» как более общий (стратостаты являются подклассом аэростатов) или же синонимичный ему термин «воздушный шар».

^[4] В дальнейшем, когда мы будем говорить о скорости аэростата и его ускорении, мы будем иметь ввиду именно вертикальные скорость и ускорение.

^[5] На самом деле (как видно, например, на фотографии), оболочка аэростата не является строго сферической, и иногда отклонение её формы от сферы может быть значительным. Однако пока мы примем допущение о сферичности оболочки для упрощения расчётов.

^[6] Такие величины, как ускорение свободного падения, плотность воздуха, объём оболочки аэростатаи его скоростьне являются постоянными.иубывают по мере набора высоты. Уменьшение плотности воздуха в высоких слоях атмосферы приводит к уменьшению его давления, что, как следствие, приводит к увеличению объёма оболочки аэростата. Наконец, скорость аэростата изменяется всегда, когда ускорение. Таким образом, уравнение (9) описывает мгновенное ускорение аэростата в данный момент времени.