3 особенности чисел в Python, о которых вы, возможно, не знали

Если вы писали код на Python, то весьма высока вероятность того, что вы, хотя бы в одной из своих программ, пользовались числами. Например, это могли быть целые числа для указания индекса значения в списке, или числа с плавающей точкой, представляющие суммы в некоей валюте.

Но числа в Python — это гораздо больше, чем, собственно, их числовые значения. Поговорим о трёх особенностях чисел в Python, с которыми вы, возможно, не знакомы.

№1: у чисел есть методы

В Python практически всё — это объект. Один из первых объектов, о котором узнаёт тот, кто начинает изучать Python — это str, используемый для представления строк. Возможно, вы сталкивались с использованием методов строк, вроде .lower(), который возвращает новую строку, все символы которой приведены к нижнему регистру:

>>> "HELLO".lower()
'hello'

Числа в Python тоже, как и строки, являются объектами. У них тоже есть методы. Например, целое число можно преобразовать в байтовую строку с помощью метода .to_bytes():

>>> n = 255
>>> n.to_bytes(length=2, byteorder="big")
b'x00xff'

Параметр length указывает на количество байтов, которые нужно использовать при составлении байтовой строки, а параметр byteorder определяет порядок байтов. Например, установка параметра byteorder в значение «big» приводит к возврату байтовой строки, в которой старший байт расположен первым, а установка этого параметра в значение «little» приводит к тому, что первым идёт младший байт.

255 — это максимальное значение, которое может принимать 8-битное целое число. Поэтому в нашем случае при вызове метода .to_bytes() можно без проблем воспользоваться параметром length=1:

>>> n.to_bytes(length=1, byteorder="big")
b'xff'

А вот если записать в n число 256 и вызвать для него .to_bytes() с параметром length=1, будет выдана ошибка OverflowError:

>>> n = 256
>>> n.to_bytes(length=1, byteorder="big")
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
OverflowError: int too big to convert

Преобразовать байтовую строку в целое число можно, воспользовавшись методом .from_bytes() класса int:

>>> int.from_bytes(b'x06xc1', byteorder="big")
1729

Методы класса вызывают, используя имя класса, а не его экземпляр. Именно поэтому в предыдущем примере метод .from_bytes() вызывают, обращаясь к int.

Любопытный факт: 1729 — это самое маленькое положительное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух положительных чисел двумя способами. Исторический анекдот связывает это число с индийским математиком Сринивасой Рамануджаном, который рассказал о нём своему наставнику Готфри Харолду Харди.

Харди часто навещал Рамануджана, когда тот, умирая, находился в больнице в Патни. Именно в одно из таких посещений произошёл «инцидент» с номером такси. Харди приехал в Патни на такси, воспользовавшись своим излюбленным транспортным средством. Он вошёл в палату, где лежал Рамануджан. Начинать разговор Харди всегда было мучительно трудно, и он произнёс свою первую фразу: «Если не ошибаюсь, то номер такси, на котором я приехал, 1729. Мне кажется, это скучное число». На что Рамануджан тотчас же ответил: «Нет, Харди! О нет! Это очень интересное число. Это самое малое из чисел, представимых в виде суммы двух кубов двумя различными способами».

Один из способов представления числа 1729 в виде суммы двух кубов — это 1³ + 12³. Можете отыскать второй способ?

У чисел с плавающей точкой тоже есть методы. Возможно, самый полезный из них — это .is_integer(). Его используют для проверки того, есть ли у числа с плавающей точкой дробная часть:

>>> n = 2.0
>>> n.is_integer()
True

>>> n = 3.14
>>> n.is_integer()
False

Вот — интересный метод .as_integer_ratio(). Он, вызванный для числа с плавающей точкой, возвращает кортеж, содержащий числитель и знаменатель дроби, представляющей это число:

>>> n.as_integer_ratio()
(1, 2)

Правда, из-за ошибки представления чисел с плавающей точкой, иногда этот метод возвращает неожиданные результаты:

>>> n = 0.1
>>> n.as_integer_ratio()
(3602879701896397, 36028797018963968)

Если надо — можно вызывать методы на числовых литералах, заключённых в круглые скобки:

>>> (255).to_bytes(length=1, byteorder="big")
b'xff'
>>> (3.14).is_integer()
False

Если обойтись без скобок — при попытке вызова метода на целочисленном литерале будет выдана ошибка SyntaxError. А вот при вызове метода числового литерала с плавающей точкой отсутствие скобок, что странно, не приведёт к ошибке:

>>> 255.to_bytes(length=1, byteorder="big")
  File "<stdin>", line 1
    255.to_bytes(length=1, byteorder="big")
        ^
SyntaxError: invalid syntax
>>> 3.14.is_integer()
False

Полный список методов числовых Python-типов можно найти в документации.

№2: числа обладают иерархией

В математике числа обладают естественной иерархией. Например, все натуральные числа являются целыми, а все целые числа — рациональными. Все рациональные числа — это вещественные числа, а все вещественные числа — это комплексные числа.

Похожие рассуждения применимы и к представлению чисел в Python. Здесь «числовая башня» выражается через абстрактные типы, содержащиеся в модуле numbers.

Числовая башня

Все числа в Python являются экземплярами класса Number:

>>> from numbers import Number
>>> # Целые числа являются наследниками Number
>>> isinstance(1729, Number)
True
>>> # Числа с плавающей точкой являются наследниками Number
>>> isinstance(3.14, Number)
True
>>> # Комплексные числа являются наследниками Number
>>> isinstance(1j, Number)
True

Если нужно узнать о том, является ли некое Python-значение числовым, но при этом неважно то, каким именно числовым типом оно представлено, воспользуйтесь конструкцией isinstance(value, Number).

В Python имеется четыре дополнительных абстрактных типа, иерархия которых, начиная с наиболее общего числового типа, выглядит так:

1. Класс Complex используется для представления комплексных чисел. Тут имеется один встроенный конкретный тип — complex.

2. Класс Real — это представление вещественных чисел. Его единственный встроенный конкретный тип — float.

3. Класс Rational представляет рациональные числа. Его единственным встроенным конкретным типом является Fraction.

4. Класс Integral применяют для представления целых чисел. В нём имеется два встроенных конкретных типа — int и bool.

Так, погодите, а значения типа bool — это разве числа? Да — числа. Можете это проверить, воспользовавшись REPL:

>>> import numbers
>>> # Комплексные числа являются наследниками Complex
>>> isinstance(1j, numbers.Complex)
True
>>> # Комплексные числа не являются наследниками Real
>>> isinstance(1j, numbers.Real)
False
>>> # Числа с плавающей точкой являются наследниками Real
>>> isinstance(3.14, numbers.Real)
True
>>> # Числа с плавающей точкой не являются наследниками Rational
>>> isinstance(3.14, numbers.Rational)
False
>>> # Объекты Fractions - это не наследники Rational
>>> from fractions import Fraction
>>> isinstance(Fraction(1, 2), numbers.Rational)
True
>>> # Объекты Fractions - это не наследники Integral
>>> isinstance(Fraction(1, 2), numbers.Integral)
False
>>> # Целые числа - это наследники Integral
>>> isinstance(1729, numbers.Integral)
True
>>> # Логические значения - это наследники Integral
>>> isinstance(True, numbers.Integral)
True
>>> True == 1
True
>>> False == 0
True

Всё это, на первый взгляд, выглядит вполне нормально. Правда, порядок несколько нарушает то, что значения типа bool являются числами.

Странность Python: так как тип bool относится к классу Integral (на самом деле он — прямой наследник int), со значениями True и False можно вытворять довольно необычные вещи.

Например, True можно использовать в роли индекса для того чтобы получить второй элемент итерируемого объекта. А если поделить число на False — будет выдана ошибка ZeroDivisionError.

Попробуйте выполнить «False»[True] и 1 / False в REPL!

Но если присмотреться к числовым типам поближе, окажется, что в иерархии Python-чисел имеется пара своеобразных моментов.

Числа типа Decimal не укладываются в иерархию

Как уже было сказано, в «числовой башне» Python есть 4 конкретных числовых типа, соответствующих четырём абстрактным типам: complex, float, Fraction и int. Но в Python имеется и пятый числовой тип, представленный классом Decimal. Этот тип используется для точного представления десятичных чисел и для преодоления ограничений арифметических операций с плавающей точкой.

Можно предположить, что числа типа Decimal являются наследниками Real, но это, на самом деле, не так:

>>> from decimal import Decimal
>>> import numbers
>>> isinstance(Decimal("3.14159"), numbers.Real)
False

Единственный класс, наследником которого является класс Decimal — это Number:

>>> isinstance(Decimal("3.14159"), numbers.Complex)
False
>>> isinstance(Decimal("3.14159"), numbers.Rational)
False
>>> isinstance(Decimal("3.14159"), numbers.Integral)
False
>>> isinstance(Decimal("3.14159"), numbers.Number)
True

Логично то, что класс Decimal не является наследником Integral. В некоторой степени смысл есть и в том, что Decimal не является наследником Rational. Но почему Decimal не является наследником Real или Complex?

Ответ кроется в исходном коде CPython:

Объекты Decimal обладают всеми методами, определёнными в классе Real, но эти объекты не должны регистрироваться в виде наследников Real, так как Decimal-числа не взаимодействуют с двоичными числами с плавающей точкой (например, результат операции Decimal('3.14') + 2.71828 не определён). Но ожидается, что числа, классы которых являются наследниками абстрактного класса Real, способны взаимодействовать друг с другом (то есть — R1+R2 должно вычисляться в том случае, если числа R1 и R2 представлены типами, являющимися наследниками Real).

Получается, что объяснение странностей сводится к особенностям реализации.

Числа с плавающей точкой — странные создания

А вот числа с плавающей точкой, с другой стороны, реализуют абстрактный базовый класс Real. Они используются для представления вещественных чисел. Но, из-за того, что компьютерная память не является неограниченным ресурсом, числа с плавающей точкой — это лишь конечные аппроксимации вещественных чисел. Это приводит к возможности написания «ненормальных» образцов кода вроде такого:

>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 == 0.3
False

Числа с плавающей точкой хранятся в памяти в виде двоичных дробей. Это приводит к появлению некоторых проблем. Например, у дроби 13 нет конечного десятичного представления (после десятичной точки идёт бесконечное множество троек). А у дроби 110 нет конечного представления в виде двоичной дроби.

Другими словами, в компьютере нельзя совершенно точно представить число 0,1 — если только этот компьютер не обладает бесконечной памятью.

Со строго математической точки зрения все числа с плавающей точкой — это рациональные числа, за исключением float(«inf») и float(«nan»). Но программисты используют их в роли аппроксимаций вещественных чисел и воспринимают их, по большей части, как вещественные числа.

Странность Python: float(«nan») — это особое значение с плавающей точкой, представляющее собой «не число». Такие значения часто обозначают как NaN. Но, так как float — это числовой тип, isinstance(float(«nan»), Number) возвращает True.

Получается, что «не числа» — это числа.

В общем, числа с плавающей точкой — странные создания.

№3: набор числовых типов Python можно расширять

Абстрактный числовой базовый тип Python позволяет программисту создавать собственные абстрактные и конкретные числовые типы.

В качестве примера рассмотрим класс ExtendedInteger, который реализует числа в форме a+bp, где a и b — целые числа, а p — простое число (обратите внимание: класс не обеспечивает то, что число p является простым):

import math
import numbers
class ExtendedInteger(numbers.Real):
    
    def init(self, a, b, p = 2) -> None:
        self.a = a
        self.b = b
        self.p = p
        self._val = a + (b * math.sqrt(p))
    
    def repr(self):
        return f"{self.class.name}({self.a}, {self.b}, {self.p})"
    
    def str(self):
        return f"{self.a} + {self.b}√{self.p}"
    
    def trunc(self):
        return int(self._val)
    
    def float(self):
        return float(self._val)
    
    def hash(self):
        return hash(float(self._val))
    
    def floor(self):
        return math.floor(self._val)
    
    def ceil(self):
        return math.ceil(self._val)
    
    def round(self, ndigits=None):
        return round(self._val, ndigits=ndigits)
    
    def abs(self):
        return abs(self._val)
    
    def floordiv(self, other):
        return self._val // other
    
    def rfloordiv(self, other):
        return other // self._val
    
    def truediv(self, other):
        return self._val / other
    
    def rtruediv(self, other):
        return other / self._val
    
    def mod(self, other):
        return self._val % other
        
    def rmod(self, other):
        return other % self._val
    
    def lt(self, other):
        return self._val < other
    
    def le(self, other):
        return self._val <= other
    
    def eq(self, other):
        return float(self) == float(other)
    
    def neg(self):
        return ExtendedInteger(-self.a, -self.b, self.p)
    
    def pos(self):
        return ExtendedInteger(+self.a, +self.b, self.p)
    
    def add(self, other):
        if isinstance(other, ExtendedInteger):
            # Если оба экземпляра имеют одно и то же значение p,
            # вернуть новый экземпляр ExtendedInteger
            if self.p == other.p:
                new_a = self.a + other.a
                new_b = self.b + other.b
                return ExtendedInteger(new_a, new_b, self.p)
            # В противном случае вернуть значение типа float
            else:
                return self._val + other._val
        # Если other - значение класса Integral, прибавить значение other к значению self.a
        elif isinstance(other, numbers.Integral):
            new_a = self.a + other
            return ExtendedInteger(new_a, self.b, self.p)
        # Если other - значение класса Real, вернуть значение типа float
        elif isinstance(other, numbers.Real):
            return self._val + other._val
        # Если тип other неизвестен, позволить другим принять решение
        # о том, что делать в такой ситуации
        else:
            return NotImplemented
    
    def radd(self, other):
        # Сложение коммутативно, поэтому прибегнуть к add
        return self.add(other)
    
    def mul(self, other):
        if isinstance(other, ExtendedInteger):
            # Если оба экземпляра имеют одно и то же значение p,
            # вернуть новый экземпляр ExtendedInteger
            if self.p == other.p:
                new_a = (self.a * other.a) + (self.b * other.b * self.p)
                new_b = (self.a * other.b) + (self.b * other.a)
                return ExtendedInteger(new_a, new_b, self.p)
            # в противном случае вернуть значение типа float
            else:
                return self._val * other._val
        # Если other - значение класса Integral, умножить его компоненты a и b на other
        elif isinstance(other, numbers.Integral):
            new_a = self.a * other
            new_b = self.b * other
            return ExtendedInteger(new_a, new_b, self.p)
        # Если other - значение класса Real, вернуть значение типа float
        elif isinstance(other, numbers.Real):
            return self._val * other
        # Если тип other неизвестен, позволить другим принять решение
        # о том, что делать в такой ситуации
        else:
            return NotImplemented
    
    def rmul(self, other):
        # Умножение коммутативно, поэтому прибегнуть к mul
        return self.mul(other)
    
    def pow(self, exponent):
        return self._val ** exponent
    
    def rpow(self, base):
        return base ** self._val

Для того чтобы обеспечить правильность реализации интерфейса Real конкретным типом — нужно создать реализации множества методов, в именах которых есть два символа подчёркивания. Ещё нужно поразмыслить о том, как методы вроде .add() и .mul() взаимодействуют с другими типами, являющимися наследниками Real.

Обратите внимание: вышеприведённый пример не создавался в расчёте на его полноту или абсолютную правильность. Его цель — продемонстрировать читателю возможности работы с числами.

При наличии реализации ExtendedInteger можно заниматься следующими вычислениями:

>>> a = ExtendedInteger(1, 2)
>>> b = ExtendedInteger(2, 3)
>>> a
ExtendedInteger(1, 2, 2)
>>> # Проверяем то, что a - это наследник Number
>>> isinstance(a, numbers.Number)
True
>>> # Проверяем то, что a - это наследник Real
>>> isinstance(a, numbers.Real)
True
>>> print(a)
1 + 2√2
>>> a * b
ExtendedInteger(14, 7, 2)
>>> print(a * b)
14 + 7√2
>>> float(a)
3.8284271247461903

Иерархия числовых типов в Python — довольно гибкая структура. Но, конечно, всегда стоит очень внимательно относиться к реализации типов, являющихся наследниками встроенных абстрактных базовых типов Python. Нужно обеспечить их корректную работу друг с другом.

В документации по Python можно найти несколько советов по реализации собственных типов, которые стоит прочесть тому, кто решит заняться созданием собственных числовых типов. Такому человеку ещё полезно будет ознакомиться с реализацией Fraction.

Итоги

Вот — те три особенности Python-чисел, которые мы здесь обсуждали:

1. У чисел есть методы, как и у практически всех остальных объектов в Python.

2. Числа обладают иерархией, даже несмотря на то, что их чёткие взаимоотношения несколько портит наличие типов Decimal и float.

3. Программисты могут создавать собственные числовые типы, которые вписываются в иерархию числовых типов Python.

Может быть, вы узнали из этого материала не только об этих особенностях чисел, но и ещё о чём-нибудь, что вам пригодится.