В мир IT я пришел из теоретической физики. Занимался, в основном, экономическими задачами. Занимался – это: анализ, ТЗ, постановка, проектирование, программирование. Естественно, я все время сопоставлял физический и экономический подходы к познанию законов природы и экономики соответственно. По этой теме созрела некая точка зрения. О ней и будет речь.
1. О познании вообще
Есть два подхода в познании:
Подход Аристотеля. Это холистический подход и рассматривает объект как черный ящик. Явление, объект изучается во всей реальности как целое. А реальность говорит, например, что тяжелые тела падают на землю быстрее чем легкие; что предоставленное самому себе движущееся тело постепенно останавливается. Подход Аристотеля имеет дело с феноменом, как цельной данности, поэтому может быть назван и феноменологическим.
Подход Галилея. Это аналитический, системный подход. Это подход “Разделяй и властвуй”. Явление, объект раскладываются на составные части и каждая из них изучается отдельно, абстрагируясь от остальных (анализ). Потом полученные картины можно складывают в одно целое, учтя взаимодействие составных частей (синтез). Например, падение тел рассматривается как падение тел в пустоте. А там они, оказываются падают с одинаковым ускорением. А в реальности падать одинаково им мешает сила трения о воздух. Изучив отдельно эту силу можно объяснить результат Аристотеля. Аналогично, если абстрагироваться от сил трения, то движущееся тело будет двигаться не останавливаясь. А если учесть силу трения, то получим результат Аристотеля. Подход Галилея сразу приводит к необходимости изучения сил. Это, в конце-концов, выливается в стройную систему классической физики.
Еще раз, для ясности.
Подход Аристотеля. Есть изучаемое явление “Падение тела в воздухе на землю” – феномен Ф. Берем разные тела и обнаруживаем, что более тяжелые тела падают на землю быстрее, чем легкие.
Подход Галилея. Изучая феномен Ф нужно принимать во внимание не только вес. Мы изучаем падение в воздухе. А давайте-ка изменять не только вес, но и воздух. Давайте попробуем уменьшать его плотность, так чтобы, в конце концов, воздуха не стало. Тогда и обнаружим, что все тела падают в пустоте с одинаковым ускорением. Мы находим параметры влияния на феномен и пытаемся создавать такие условия, при которых только один параметр существенен. Этого нет в природе. Поэтому физику нужна лаборатория, где он мог бы варьировать параметры. Изучив влияние одного параметра, мы можем перейти к изучению влияния другого параметр. Сложность цельного подхода мы пытаемся свести к композиции более простых подходов. Варьируя форму падающего тела, мы можем изучить зависимость силы трения о воздух в зависимости от формы тела. Варьируя скорость падения, мы можем обнаружить зависимость силы трения от скорости. Варьируя высоту падения, мы можем обнаружить зависимость ускорения от высоты. Варьируя географическое место на земле, мы обнаружим зависимость ускорения падения от географии.
Грубо говоря в подходе Аристотеля исследуют реальность, а в подходе Галилея исследуют абстракции, а от них, через синтез, идут к реальности.
2. Модель физического познания
Физика – идеал теории для многих наук, в том числе и для экономики. В физических экспериментах получают дискретные ряды значений. Но их считают аппроксимацией к непрерывным функциям, которыми в реальности представляются физические показатели. И физики пытаются угадать эти функции. Так Галилей угадал параболу для траектории камня, брошенного под углом к горизонту; Кеплер угадал траектории планет – эллипсы и т.д. Угадав траекторию, получаем предсказательный аппарат – возможность вычисления значения для неисследованных координат траектории. Для проверки ставят эксперимент – создают условия для экспериментального получения интересующего значения. Тогда, сверив предсказанное значение и экспериментальное, получаем подтверждение или опровержение теории. Здесь иногда важную роль играют погрешности ошибки эксперимента. Физическое познание сводится к выявлению детерминизма – закону получения состояния из начального состояния:
$$display$$S(t)=D(Q,S(0))$$display$$
S(0) - начальное состояние
D – детерминизм – функция, определяющая S(t) по S(0)
Q – параметры воздействия внешней среды на рассматриваемую систему. Это, своего рода, управление системой со стороны внешней среды.Так, для брошенного камня из точки (0,0) со скоростью $inline$v_0$inline$ под углом $inline$α$inline$ к горизонту имеем
$$display$$x(t)= v_0 t cos(α),y(t)=v_0 t sin(α)- (gt^2)/2 $$display$$
Начальное состояние S(0) задают три параметра: точка вылета (0,0), начальная скорость $inline$v_0$inline$, угол $inline$α$inline$.
Воздействие Q внешней среды задается ускорением свободного падения g. При расширении рамок задачи(большая начальная скорость) g уже не постоянно.
Детерминизм D задается, представленным вышеприведенной формулой.
При более реалистической задаче нужно учесть трение о воздух. Это усложняет математику задачи, но принцип остается прежним. Вместо камня можно рассматривать самолет. Тогда в игру вступает сила тяги самолета, и ее регулирование летчиком. Появляется и нефизический фактор – воля пилота. Ее мы учесть не можем. Но мы знаем, что она не беспредельна: сила тяги не может быть беспредельной, ускорение не может быть бесконечным. Это вносит в движение элемент определенности. Им пользуются, например, для построения траектории ракеты ПВО.
Вернемся к летящему камню. Он характеризуется бесконечным множеством физических параметров. Например, только его форма может быть сколь угодно сложной. Но мы уверены, что в некоторой полезной области мы можем рассматривать камень как материальную точку. Это главная абстракция классической механики. Все системы представляются как наборы взаимодействующих материальных точек. Тем самым делается главная познавательная редукция – сведение поведения сложной системы к поведению ее элементарных составляющих.
В связи с упомянутой познавательной редукцией можно выделить два гносеологических подхода – редукционизм и холизм.
3. Редукционизм и холизм
Редукционизм – принцип сведения характеристик системы из характеристик подсистем и характеристик взаимодействия подсистем. Успешно работает в физике.
Рассмотрим, например, газ. Не декомпозируя его на подсистемы, мы можем оперировать опытными, феноменологическими понятиями: давление P, температура T, объем V. Эмпирически находится соотношение, связывающее эти параметры – уравнение состояния газа:
$$display$$PV=constT$$display$$
Это так называемый феноменологический уровень – работа с феноменами(явлениями) не вдаваясь в их структуру. Это подход Аристотеля.
А теперь применим подход Галилея. Декомпозируем систему “газ”: представим его как совокупность сталкивающихся молекул. Тогда мы определим P и T через механические параметры молекулы. Так сделано в молекулярной физике. Таким образом мы редуцируем систему газ к подсистемам молекул. Это позволит уточнить уравнение состояния или вывести его для новых систем.
Соответственно этому, в бизнесе мы имеем аналогию: макроэкономика декомпозируется на предприятия и домашние хозяйства. Но здесь редукция еще не совершена. Увы, не находится экономический Ньютон. Проблема в сложности и наличии субъективного фактора, которого нет в физике(правда, идут дебаты о роли субъекта в квантовой механике).
А теперь о холизме.
Холизм – принцип, говорящий о том, что в системе могут быть не редуцируемые свойства. Так в биологии учение витализма основывается на понятии энтелехии, жизненной силы, свойственной организму как целому и нередуцируемому.
Физика пока обходится без концепции холизма.
4. Формульные и алгоритмические модели
Формульная модель – модель, задаваемая формулой. Понятие “формула” будем считать известным.
Примеры в физике: уравнения Ньютона, уравнения Лагранжа, уравнения Максвелла, уравнения Навье-Стокса, уравнения Гейзенберга-Шредингера, уравнения Эйнштейна.
Примеры из экономики: формула Блэка-Шоулза для цены опциона, формула движения денежной массы, модель линейного программирования для оптимизации финансового портфеля, формулы расчета процентов, формулы расчета рисков.
С формульной моделью человек может работать и без компьютера. Такова почти вся чистая математика. Но и здесь все большую роль играет алгоритмистика. Так решение проблемы четырех красок свелось не к какой-то формуле, а потребовало переборного решения для многих частных случаев. Этот перебор сделали компьютеры.
Алгоритмическая модель – модель, задаваемая алгоритмом, возможно и не сводимому к формуле. Конечно можно и алгоритм причислить к формулам, но это уже не те классические формулы. Алгоритмическая модель изначально реалистична только с использованием компьютера
Формульную модель всегда можно свести к алгоритмической.
Пример первой алгоритмической модели — проблема Ферми-Паста-Улама. Вот цитата из книги Улама “Приключения математика”.
Как только машины были доделаны, Ферми, с присущей ему интуицией и огромным здравым смыслом, сразу же осознал все их значение в исследовании проблем теоретической физики, астрофизики и классической физики. Мы обсуждали этот вопрос самым подробным образом и решили попытаться сформулировать какую-нибудь задачу, которая была бы проста в своей постановке, но имела бы решение, требующее очень длинных вычислений, невыполнимых с помощью ручки и бумаги или существующих механических вычислительных устройств. Обсудив ряд возможных задач, мы остановились на одной типовой задаче, связанной с долговременным поведением динамической системы и требующей долгосрочного предсказания. В ней рассматривалась эластичная струна с двумя закрепленными концами, на которую действует не только обычная упругая сила деформации, пропорциональная деформации, но и малая по величине физическая нелинейная сила. Необходимо было выяснить, как после очень большого числа периодов колебаний эта нелинейность будет постепенно влиять на известное периодическое поведение колебаний в одной тональности, каким образом другие тональности струны приобретут свои амплитуды и как, рассуждали мы, будет происходить термализация движения, имитируя, быть может, поведение жидкостей, которые, будучи вначале ламинарными, становятся все более и более турбулентными, пока, наконец, их макроскопическое движение не преобразовывается в тепло.
Джон Паста, недавно приехавший в Лос-Аламос физик, помогал нам в составлении блок-схем, программировании и обработке задачи на MANIAC. Ферми решил сам научиться программировать машину. В те дни сделать это было труднее, чем сейчас, когда уже существуют готовые программы и установленные правила, а сама эта процедура автоматизирована. Тогда же необходимо было учиться различным хитрым приемам. Ферми очень быстро овладел ими, а кое-чему научил и меня, хотя я уже и так знал достаточно, чтобы суметь оценить, какого рода задачи можно решать таким образом, определить их продолжительность в количестве этапов вычисления и понять принципы их выполнения.
Как оказалось, мы весьма удачно выбрали задачу. Полученные результаты в качественном отношении совершенно отличались даже от тех, что ожидал Ферми со своим глубочайшим знанием волновых движений. Первоначальная цель заключалась в том, чтобы посмотреть, с какой скоростью энергия струны, изначально заложенная в простой синусоидальной волне (нота бралась как один тон), будет постепенно создавать более высокие гармоники, и каким образом система придет в конечное хаотическое состояние, описывающее как форму струны, так характер распределения энергии среди более и более высоких тональностей. Но ничего подобного не произошло. К нашему удивлению, струна начала играть только на нескольких глухих нотах и, что, наверное, еще более поразительно, после нескольких сотен обыкновенных возвратно-поступательных колебаний она опять приняла почти ту же, что и в начале, синусоидальную форму.
Я знаю, что Ферми считал это «незначительным открытием», как он сам сказал. Но он собирался рассказать о нем через год, когда его пригласили прочесть лекцию Гиббса (весьма почетное событие на ежегодном заседании Американского математического общества). Он заболел еще до заседания, и эта лекция так никогда и не состоялась. Однако отчет по этой работе, написанный Ферми, Пастой и мной, все же был опубликован — как отчет о работе в Лос-Аламосе.
Я должен объснить, что движение сплошной среды, какой, к примеру, является струна, можно исследовать с помощью компьютера, если представить, что струна состоит из конечного числа частиц — в нашем случае шестидесяти четырех или ста двадцати восьми. (Число элементов лучше представить в виде какой-нибудь степени двойки, так как это облегчает обработку на компьютере.) Эти частицы связаны друг с другом силами, которые в дополнение к линейным по расстоянию слагаемым содержат также малые нелинейные квадратичные слагаемые. Затем машина быстро рассчитывает движение каждой из этих точек за короткие временные этапы. Вычислив одно положение, она переходит к другому временному этапу и вычисляет новое положение, и так повторяется много раз. Нет абсолютно никакого способа выполнить это вычисление вручную, на это ушли бы буквально тысячи лет. Совершенно неприемлемо здесь и решение в аналитическом виде с использованием математических приемов классического анализа девятнадцатого-двадцатого столетий.
Результаты были воистину поразительными. Множество попыток было предпринято для выяснения причин такого периодического и закономерного поведения, ставшего источником для существующей сегодня объемной литературы по нелинейным колебаниям. Работы по ним написали Мартин Крускал, физик из Принстона, и Норман Забуски, математик, работавший в телефонной Лаборатории Белла. Позднее свой блестящий вклад в эту теорию внес Питер Лаке. Все они провели интересный анализ проблем подобного рода. Математик знает, что так называемая возвращаемая динамическая система Пуанкаре, включающая в себя столько частиц, имеет гигантскую длину — фактически, в астрономическом масштабе — и то, что она так быстро возвращается в свое исходное положение, вызывает самое большое удивление.
Другой физик из Лос-Аламоса, Джеймс Так, решил проследить, начинается ли период, следующий за этим очень близким к первоначальному положению возвратом, снова из того же состояния, и что будет после этого второго «периода». Вместе с Пастой и Метрополисом он повторил всю процедуру, и, что удивительно, возврат произошел вновь, но с точностью, меньшей приблизительно на один процент. Такая картина повторялась и дальше, но после шести либо двенадцати таких периодов точность вновь начинала повышаться, что говорило о появлении некого «суперпериода». Итак, за одной странностью последовала другая, ничуть не меньшая.
А вот статья на Хабре, рассказывающая о современном состоянии проблемы Ферми-Паста-Улама:
Математики решили проблему Ферми-Паста-Улама
5. Координатизация
Под координатизацией системы я понимаю определение базисных параметров, которые в принципе определяют эволюцию системы. Например, в механике материальной точки координатизацию задают:
- Внешняя сила F
- Масса m материальной точки
- Пространственные координаты (x,y,z)=r материальной точки
- Время t
Эволюцию системы задает уравнение Ньютона$$display$$(d^2 r(t))/(dt^2 )=(F(t))/m$$display$$
Автор: MirAleAnu
